小數蛙

上次你說關於二次函數的圖形拋物線

還有一些特性是我們還沒覺察的

是這個嗎

我發現將球上拋後

到達某一個高處

它就會向下掉

跟之前學過的直線不一樣

並沒有往上繼續延伸下去

我們可以來討論看看這個問題

或許會有新的發現

不過我們得先回去整理一下自己

待會見

狐狸貓 我們先來觀察一下

籃球向上拋的時候

所形成的拋物線圖形

是一個開口向下的拋物線

所以會有最高點產生

同時籃球也在最高點開始往下掉

二次函數是由x與y組成的一個關係式

那我們試著標上坐標

來觀察x與y的變化

好喔 我們來試試

小數蛙 在直角坐標平面上

上下的變化

改變的是y坐標

當圖形有最高點

是不是也代表著y坐標有最大值呢

狐狸貓 我們先來看看這個例子

二次函數 y等於-3乘以括號x-3的平方加5

開口向下

有最高點

我們在上面放上一個A點

當成籃球移動的過程

你來觀察看看有什麼變化

當A點越來越高

y坐標會越來越大

過最高點之後

y坐標會越來越小

y坐標的最大值出現在最高點的地方

是的

狐狸貓 你還記得函數值嗎

當給定一個x值

就會有一個對應的y值

對應的y值就是函數值

所以y有最大值

也代表著這個函數有最大值

沒錯 我們整理一下

當二次函數開口向下

會有最大值發生在最高點

且最大值就是最高點的y坐標

那會有最小值嗎

有發現嗎

開口向下的拋物線是往下無限延伸的

所以找不到最小值

那開口向上呢

很好 能舉一反三

我們接著看看開口向上的拋物線

狐狸貓 我們先來看看這個例子

二次函數y等於3乘以括號x-3的平方加1

開口向上

有最低點

我們在上面放上一個A點

沿著拋物線進行移動

你來觀察看看有什麼變化

當A點越來越低

y坐標會越來越小

過最低點之後

y坐標會越來越大

y坐標的最小值1出現在最低點的地方

沒錯 我們整理一下

當二次函數開口向上

會有最小值發生在最低點

且最小值就是最低點的y坐標

狐狸貓 我們透過了拋物線圖形

覺察出二次函數有最大值或最小值

其實也可以直接透過二次函數

發現這件事喔

咦 二次函數

直接發現

我想想喔

二次平方大於或等於0

不等式

所以有最大或最小的值產生

是喔

狐狸貓 我們來看看剛剛的例子

二次函數 y等於3乘以括號x-3的平方加1

二次 平方 大於等於0

再乘以3

加上1後就是y

y大於等於1

出現了

y有最小值1

是的 而且當平方項為0時

x等於3

正好y是最小值1

就是頂點發生的地方

也就是最小值發生在最低點

真的耶 我再來試試最大值的例子

二次函數 y等於-3乘以括號x-3的平方加5

二次平方大於或等於0

再乘以-3

加上5後就是y

y小於等於5

出現了 y有最大值5

是的 再試試看

是否發生在最高點

當平方項為0時

x等於3 y是最大值5

是頂點發生的地方

沒錯耶 最大值發生在最高點

答案為

狐狸貓 還記得嗎

我們之前利用拋物線圖形的特徵

頂點 對稱軸 開口等來求二次函數

現在我們也可以利用最大值或最小值

來取得二次函數喔

因為最大值或最小值發生在頂點

知道最大值或最小值

就相當於知道頂點的資訊

是的

已知二次函數

y等於a乘以括號x減h的平方加k

若此函數在x等於-2時

y有最小值4

且通過坐標平面上的點

求此二次函數

在x等於-2時

y有最小值4

也就是頂點為

所以y等於a乘以括號x加2的平方加4

通過坐標平面上的點

所以x等於0 y等於6代入

得到6等於a乘以括號0加2的平方加4

得到a等於2分之1

所以得到二次函數

y等於2分之1乘以括號x加2的平方加4

狐狸貓 你能在生活中覺察到

曾經學習過的數學知識

並進一步發現新的知識

很不錯喔

呵呵 我也很開心

沒有白學了

期待你再來找我一起討論數學喔

我們透過二次函數圖形拋物線上點的移動

觀察出二次函數存在著最大值或最小值

並利用二次方

形成平方後大於或等於0的不等式

進行驗證

發現?

在這支影片中

我們學會找出二次函數的最大值或最小值

二次函數的圖形拋物線有著許多特徵

也是生活中常出現的軌跡

你也可以試著從生活中覺察問題喔

再見囉