小數蛙 噴泉的水柱由出水口噴向高處 再由高處落下來 這個路徑是不是拋物線呀 是呀 美麗的拋物線 狐狸貓很棒喔 可以覺察出生活中的數學實例 呵呵呵 但小數蛙我有一個疑問耶 你說說看 之前我們學習在坐標平面上 畫出二元一次方程式的圖形時 會先找到與兩軸的交點 由於軸上的點會有一個坐標是零 可以讓計算變得簡單 那為何我們在畫拋物線圖形時 一樣是在坐標平面上畫圖 卻不特別去找軸上點呢 好問題 我們一起來討論這個問題 利用軸上的點來完成二次函數的圖形 狐狸貓 我們可以先找幾個二次函數 試著把軸上的點找出來 看看是否能順利地完成拋物線圖形 好喔 我們來試試 二次函數y等於-3乘以括號x減3的平方加6 在x軸上的點 y坐標為0 y等於0代入 得到x等於3加減根號2 兩個x軸上的點 好 接下來我們試著找y軸上的點 在y軸上的點 x坐標為0 x等於0代入 得到y等於-21 一個y軸上的點 現在有三個軸上的點 我們試著在坐標平面上畫出圖形 3加根號2 試著取近似值吧 好的 根號2近似於1.414 3加根號2近似於4.4 3減根號2近似於1.6 將三個點描在坐標平面上 試著畫出圖形 現在看來似乎還畫不出圖形 那我們再把二次函數 y等於-3乘以括號x減3的平方加6的頂點 加上去 可以畫出圖形了 是的 但似乎沒有將畫圖這件事變簡單 計算上也變複雜了 再試一個嗎 好呀 或許會有不同的可能性 二次函數y等於括號x減1的平方加2 在x軸上的點 y坐標為0 y等於0代入 得得得 得到平方後為負數 怎麼會這樣呢 沒有解耶 沒有解 沒有x軸上的點 那就是與x軸沒有交點囉 會有這種情形嗎 我們從二次函數的圖形來討論看看 y等於括號x減1的平方加2 頂點 開口向上 頂點為最低點落在坐標平面上的第一象限 且圖形向上延伸 確實與x軸沒有交點 或許我們可以直接利用之前所學習過的知識 就能判別出此二次函數與x軸的交點情形 答案選 選項 y等於3乘以括號x減1的平方加4 頂點開口向上 頂點為最低點 落在坐標平面上的第一象限 且圖形向上延伸 與x軸沒有交點 為此題正確答案 選項 y等於3乘以括號x減1的平方減4 頂點開口向上 頂點為最低點 落在坐標平面上的第四象限 且圖形向上延伸 與x軸有兩個交點 選項 y等於-3乘以括號x加1的平方加4 頂點開口向下 頂點為最高點 落在坐標平面上的第二象限 且圖形向下延伸 與x軸有兩個交點 選項 y等於-3乘以括號x加1的平方 頂點開口向下 頂點為最高點 落在坐標平面上的x軸上 且圖形向下延伸 與x軸只有一個交點 二次函數與x軸的交點情形 可以藉由圖形頂點的位置 再加上開口方向 就能判別出來 那會有幾種情形呢 當圖形開口向上時 若頂點落在x軸的下方 則與x軸有兩個交點 若頂點落在x軸的上方 則與x軸沒有交點 若頂點剛好落在x軸上 應該是不論開口向上或向下 都是與x軸只有一個交點 沒錯 當圖形開口向下時 若頂點落在x軸的上方 則與x軸有兩個交點 若頂點落在x軸的下方 則與x軸沒有交點 所以二次函數與x軸的交點情形 有交於兩點 交於一點 沒有交點三種情形 對喔 二次函數y等於x平方減9 開口向上 頂點在y軸上 且位於x軸下方 則與x軸有兩個交點 小數蛙 我們討論了二次函數與x軸的相交情形 那與y軸的情形呢 之前我們嘗試用y軸上的點 x坐標為零 代入二次函數找解 可以發現當x等於0時 y的值就是一串數字運算後的值 是存在的數 也就是說我們一定可以找到一個交點 如果用拋物線的圖形特性來看 圖形的頂點在坐標平面上 不論開口方向 由無限延伸的特性 可以發現一定會與y軸產生一個交點 所以二次函數與y軸的交點情形 是相交於一點 狐狸貓 你的問題解決了嗎 我想我知道為什麼了 軸上的點雖然有坐標為零的特性 但在二次函數裡 不一定都存在 而且可能出現帶著根號的數 並沒有讓計算變得容易 還是由拋物線的特性 頂點為最低點或最高點 再利用對稱性找點畫圖 比較容易啦 是呀 不過藉由你提出的問題 我們也有了新的發現 知道了二次函數與兩軸的相交情形 頗有收穫 還不賴喔 我們透過軸上的點 有坐標為零的特性 代入二次函數找解 發現解不一定存在 知道二次函數與軸之交點 有著不同的可能性 1.由拋物線的頂點所在位置與開口方向 可以判斷拋物線與x軸的交點個數 接下來我們利用學習過的 拋物線圖形特性覺察出 2.二次函數的圖形與x軸的交點情形 有交於兩點 一點 及沒有交點的情形 與y軸會交於一點 在這支影片中 我們學會如何判斷二次函數的圖形 與兩軸的相交情形 我們也知道了 噴泉水柱的路徑是拋物線軌跡 還有哪些拋物線軌跡存在於生活周邊呢 試著在生活中發現數學吧 再見囉