那天水火箭的活動

有提到拋物線原理

水火箭會呈拋物線飛行

嗯 拋物線是二次函數的圖形

那應該可以找到一個二次函數的關係式

那這個二次函數能有什麼作用呢

狐狸貓 你在唸什麼呀

我在想水火箭

它的飛行軌跡是拋物線吧

是呀

那會有一個二次函數吧

是呀

那它有什麼作用

有喔

它可以知道水火箭飛多遠

真的嗎

快告訴我要怎麼做

狐狸貓 我們先試想現在有一個水火箭

發射後離地面的高度

也就是垂直距離為y公尺

離發射點的水平距離為x公尺

再利用科學的相關原理

我們可以推導出一個二次函數

假設滿足此情境的二次函數為

y等於-x平方加6x

嗯 現在我們有二次函數了

然後呢

要怎麼由它來知道水火箭可以飛多遠呢

狐狸貓 別急

你想想如果要知道飛多遠

應該要找水平距離還是垂直距離呢

水平距離吧

是的 那這時的垂直距離是

這時候的水火箭已經停下來了

落在地面上了

所以垂直距離是0

沒錯 我們可以試著代入y等於0

好喔 我來試試

當y等於0代入二次函數

y等於-x平方加6x

會得到一個一元二次方程式

利用提公因式

可以得到x等於0或6

水平距離可以是0或6

狐狸貓 你覺得是飛行了6公尺

還是0公尺呢

是6公尺吧

是 那0公尺代表的含意是

發射地嗎

是 尚未發射時

垂直距離也是0

狐狸貓 像這樣透過x與y所代表的意義

配合情境

你就可以讀出你想知道的訊息了

喔 我瞭解了

小數蛙 前方的拱橋也有拋物線耶

那是不是也能寫出二次函數呢

可以呀

可是它是靜態的物體

沒有辦法利用科學原理來寫出二次函數

我們可以利用坐標化

首先先決定直角坐標平面的原點

及二次函數的頂點

我們讓兩點重疊吧

接著我們需要一些數據

橋孔頂至水面的距離為3公尺

此時的水面寬度為6公尺

可以得到點坐標及

有了頂點及線上一點的坐標

我們就可以取得二次函數的關係式了

好喔 我來試試

二次函數的頂點

在直角坐標的原點

可以得到二次函數為y等於ax平方

知道線上有一點

代入可得二次函數y等於-3分之1x平方

很好 你找到二次函數了

接下來我們試著讓這個二次函數更有意義

當水面上升1公尺

此時水面寬度會有怎麼樣的變化呢

此時橋孔頂至水面的距離為2公尺

若我能知道y等於-2這條水平線

與拋物線的交點

應該就能知道此時的水面寬度了

y等於-2代入二次函數

y等於-3分之1x平方

得x等於±根號6

交點為 與

所以水面寬為2根號6公尺

近似於5公尺

水面寬變窄了

是的 我們可以知道變成多窄

就可以知道通過橋孔的可能性了

將直角坐標原點

設定為二次函數的頂點

且為隧道的最高點

得二次函數為y等於ax平方

已知線上一點代入得a等於-4分之5

二次函數為y等於-4分之5x平方

工程車寬為2.4公尺

將x等於1.2代入得y等於-1.8

高度5減掉1.8得3.2

可知H小於等於3.2

取最大整數為3

故答案為3公尺

小數蛙 投籃時的軌跡也是拋物線耶

那這個二次函數是不是能幫助我投籃進步呢

嗯 或許吧

不過球技要進步還是要靠練習啦

嗯 好像也是喔

狐狸貓 我們可以試著將y軸設為

通過籃框中心且與地面垂直的直線

此線與地面的交點

為直角坐標平面的原點

籃框高約3公尺

點坐標為

假設與籃框距離1公尺

會出現最高點

若我們設定最高點為

你的身高為1.6公尺

我們試著推出二次函數為

y等於-0.2乘以括號x加1的平方加3.2

y等於1.6代入

得x約等於1.83或-3.83

依情境推得此時你可以站在

離籃框約3.8公尺處投籃

並讓籃球軌跡的最高點

通過我們所設定的最高點坐標處

就能順利進入籃框

啊 還是努力練球吧

別沮喪 你有發現嗎

當我們將最高點

設定在離籃框1公尺處時

若高度越高

我們就要站越近

這樣應該也能幫助你思考

自己的出手方式

加油啦

我們將二次函數應用於

水火箭飛行的軌跡上

知道可以飛多遠

應用於拱橋上

知道水面上升下降後

水面的寬度

嘗試解決通過拱橋孔的可能性

應用於投籃

知道投籃軌跡的變化情形

嘗試找出最佳的出手方式

將生活情境坐標化

藉由二次函數

可以解決生活中的問題

在這支影片中

我們將二次函數應用於生活之中

水火箭 投球 拱橋

隧道 投籃等

若能將二次函數的一般式

藉由配方法整理出標準式

這樣我們在進行坐標化時

就有更多的可能性

也能藉此推導出

最高點或最低點的位置

能應用的更廣泛

這些就留待之後再學習吧