狐狸貓與小數蛙

正在用積木堆一座城堡

給螞蟻朋友們

總共500隻螞蟻入住

城堡需要大一些

如果想知道這座城堡的體積與面積

該怎麼計算呢

我們將積木拆開

可以得到三角柱

四角柱

五角柱

以此類推

這種底面為n邊形

側面均為矩形

且所有側面皆與底面

互相垂直的立體圖形

我們稱為n角柱

如果我們想求體積與表面積

該怎麼計算呢

n角柱的體積公式為底面積乘以高

而表面積為兩底面的面積和

加所有側面矩形的面積和

以此直角三角柱為例

底面積為括號5乘以12除以2

等於30

體積為30乘以8

等於240立方單位

表面積則為

30乘以2加5乘以8

加12乘以8加13乘以8

等於60加40加96加104

等於300平方單位

我還有看過上下底面

是圓形的立體圖形耶

像這種上下底面為等圓

以及連接兩個底面的一個側面

圍成的立體圖形

就稱為圓柱

側面可展開成一個矩形

矩形的長等於底面圓周長

矩形的寬等於圓柱的高

圓柱的體積為底面積乘以高

圓柱的表面積為

兩底面的圓面積和

加底面圓周長乘以高

以此圓柱為例

底面積為20乘以20乘以π

等於400π

體積為400π乘以30

等於12000π立方公分

表面積為400π乘以2加20乘以2

乘以π乘以30

等於800π加1200π

等於2000π平方公分

放大底面的正六邊形

可被分成6個正三角形

1個正三角形的面積為

括號4乘以2根號3除以2

等於4根號3平方公分

正六邊形面積為

4根號3乘以6

等於24根號3平方公分

六角柱表面積為

2乘以24根號3加4乘以8乘以6

等於48根號3加192平方公分

這兩個底面都為三角形

但好像有點不一樣

沒錯 兩者不太一樣喔

左邊的圖形是三角柱

右邊的圖形是三角錐

我們來認識一下角錐是什麼吧

以n邊形為底面

加上底面外一點所構成的多面體

稱為n角錐

而由n邊形的一邊

及平面外的點所形成的三角形

稱為角錐的側面

當底面是正多邊形

且側面皆為全等的等腰三角形

稱為正角錐

正角錐的頂點

與底面中多邊形中心的連線

會垂直於底面

現階段我們學的都是正角錐喔

n角錐的表面積

為底面積加所有側面三角形的面積和

以此三角錐為例

底面為邊長6公分的正三角形

側面皆為5公分

試求此圖形的表面積

依據面積公式

4分之根號3乘以邊長平方

等於4分之根號3乘以6的平方

等於9根號3

此正三角形底面積為9根號3平方公分

由畢氏定理可知

側面三角形的高

等於根號5的平方減3的平方

等於4公分

面積為括號6乘以4除以2

等於12平方公分

此三角錐的表面積為

9根號3加12乘以3

等於9根號3加36平方公分

以圓形為底面

加上底面外一點所構成的多面體

稱為圓錐體

圓錐頂點和底圓圓心連線

與底圓的任一半徑皆垂直

且側面可展開成扇形

扇形的弧長剛好會等於底圓的圓周長

圓錐的表面積會等於底面圓面積

加上側面展開的扇形面積

以此圓錐為例

先計算x的度數

可以從扇形弧長等於圓形周長列式

6乘以2乘以pi

乘以360度分之x度

等於2乘以2乘以pi

算出x等於120

再來算表面積等於

6乘以6乘以π

乘上括號360度分之120度

加2乘以2乘以π

等於12π加4π

等於16π平方公分

假設扇形圓心角為x度

因為扇形弧長與底面圓周長相等

所以2乘以9乘以π

乘上括號360度分之x度

等於2乘以3乘以π

x等於120度

今天學了柱體與椎體的特性

再來複習一遍吧

底面為n邊形

側面均為矩形

且所有側面皆與底面

互相垂直的立體圖形

我們稱為n角柱

n角柱體積等於底面積乘以高

表面積則等於

兩底面的面積和

加上所有側面矩形的面積和

上下底面為等圓

以及連接兩個底面的一個側面

圍成的立體圖形

就稱為圓柱

圓柱的體積等於

底面積乘以高

表面積等於兩底面的圓面積和

加底面圓周長乘以高

以n邊形為底面

加上底面外一點所構成的多面體

稱為n角錐

由n邊形的一邊及平面外的點

所形成的三角形

稱為角錐的側面

n角錐的表面積等於底面積

加所有側面三角形的面積和

以圓形為底面

加上底面外一點所構成的多面體

稱為圓錐

圓錐頂點和底圓圓心連線

與底圓的任一半徑皆垂直

且側面可展開成扇形

扇形的弧長剛好會等於底圓的圓周長

表面積等於底面圓面積

加側面展開的扇形面積

有了柱體與錐體的基本概念

狐狸貓跟小數蛙可以計算出城堡體積

幫螞蟻朋友們堆出一座屬於他們的家

那麼今天這堂課到這裡結束啦

下堂課見 掰掰