大家還記得之前學過的多項式乘法嗎

例如 括號x加2乘以括號x加3

乘開整理之後可以得到

x平方加5x加6

既然我們會把多項式的乘積展開

那如果想要倒回去做

把式子因式分解該怎麼做呢

於是狐狸貓跑去找了學識淵博的教授詢問

此時教授給狐狸貓一個提示

假設現在把 x平方加5x加6

這個式子因式分解成

括號 x加p 乘以 括號x加q的形式

接下來就要想辦法找到 p 和 q 的值

我們可以先把後面這個多項式展開

整理成 x平方加括號p加q 乘以x加p乘q

這時候 x平方加5x加6

等於 x平方加括號p加q 乘以x加p乘q

咦 從這個等式中

你有沒有發現什麼特別的關係啊

答案選 A

從上述等式中我們可以發現

p加q會等於一次項係數的5

p乘q會等於常數項的6

因此我們只要找到滿足 p加q等於5

且p乘q等於6的整數 p q

就可以順利分解原來的一元二次式了

於是狐狸貓開始找滿足兩數相加會等於五的整數

1加4等於5 2加3等於5 3加2等於5

4加1等於5 5加0等於5 6加負1等於5

我的天哪

滿足兩數相加等於5的整數有好多好多欸

這樣要找到什麼時候啊

那 你換成先找找看兩數相乘等於6的整數有哪些

1乘以6等於6 負1乘以負6等於6 2乘以3等於6

負2乘以負3等於6 只有這四種

那麼這四種哪一個符合p加q等於五呢

我們把四種可能的數都相加看看

發現只有當p等於2 q等於3的時候

才會滿足 p加q等於5

此時得到的p等於2 q等於3

帶回第一個式子

所以 x平方加5x加6

就可以被分解成

括號x加2 乘以 括號x加3了

而在教授的研究中記錄著

上述過程也可以寫成另一種形式

x平方加5x加6的二次項x平方

可以被分解成x乘以x

把它寫成這樣

再來常數項的6我們分解成2乘以3

2跟3就寫在兩個x的右邊

此時我們可以發現左邊的兩個x相乘就是x平方

右邊的兩數相乘就是常數項的6

那麼在中間我們可以打個叉叉

右上方的2跟左下方的x相乘是2x

右下方的3跟左上方的x相乘是3x

底下的2x加3x等於5x

就是原本一元二次式中的一次項啦

所以從這個圖中就可以得出

x平方加5x加6 可以被因式分解成

x加2 乘以 x加3

而這種因式分解的方法

就稱為十字交乘法

原來是這樣啊 我會了

那我出一題練習題讓你試試看吧

請利用十字交乘法因式分解

x平方加10x加21

我們剛剛已經知道一次項係數的 10

會是由某兩個整數相加得到

而常數項的 21 則是由兩數相乘得到的

因此這題我們要找哪兩個整數

相加等於 10 相乘等於 21

21可以等於1乘以21

負1乘以負21 3乘以7

負3乘以負7 這四組

其中3加7等於一次項係數的10

所以常數項可以分解成3乘以7

寫下十字交乘的過程

左邊的x乘以x等於二次項的x平方

右邊的3乘以7等於常數項的21

中間的交叉相乘3x加7x

也等於一次項的10x

所以得到 x平方加10x加21

就等於 括號x加3乘以括號x加7

接下來的這題常數項是負數 你會做嗎

利用十字交乘法因式分解

x平方加3x減10

所以這題我們要找的是相加等於3

相乘等於負10的兩個整數

一樣先列出負10可以等於 負1乘以10

1乘以負10 負2乘以5 2乘以負5四組

接著利用十字交乘法時

畫面中的p跟q應該是多少呢

答案選 B

因為我們要找到相加等於3

相乘等於負10的兩個整數

所以從這四組中我們找到其中的負2加5等於3

因此圖中的p應該填負2 q應該填正5

所以左邊的x乘以x等於二次項的x平方

右邊的負2乘以5等於常數項的負10

中間的交叉相乘 負2x加5x

也等於一次項的 3x

得到 x平方加3x減10

等於 括號x減2乘以括號x加5

在這支影片中

我們又學會了一種將一元二次式因式分解的方法

假設一個一元二次式 x平方加bx加c

要因式分解成 括號x加p乘以括號x加q

因為等號右邊的多項式乘開等於

x平方加括號p加q乘以x加p乘q

所以我們得到一次項係數的b等於p加q

常數項的c等於p乘以q

通常我們會先從常數項c等於p乘以q

來找滿足此條件的兩個整數p q

當我們找到上述兩個條件都滿足的p q之後

就可以利用十字交乘法將 x平方加bx加c

因式分解成 括號x加p乘以括號x加q 囉

那麼下一支影片我們再來研究看看

教授的研究中還有什麼小秘訣吧

我們下次見 掰掰