之前我們學會了用因式分解 來解出一元二次方程式的解 像是 x平方加x減2等於0 就可以利用因式分解 最後得到方程式的解為 負2 和 1 但如果是 x平方加4x加2等於0 這種沒有辦法利用因式分解來處理的 一元二次方程式該怎麼辦呢 第一個解決這個問題的人 是出生於八世紀的波斯數學家花拉子米 他的 代數學 是第一本解決一元一次方程式 及一元二次方程式的著作 他也因為這本書被稱為 代數的創造者 可見花拉子米對於代數的貢獻可是不容小歔的呢 但是在他那個年代啊 其實很多數學符號都還沒出現 所以在代數學這本書中解釋許多問題時 都只能用文字來描述 像是裡面有提到把10分做兩個部分 以自身相乘會等於另一部分的81倍 現在這樣只看文字是不是 看的霧煞煞都看不懂呢 這個問題看起來很抽象 讓我們來分解一下這個句子 它說把10分做兩個部分 那我們就把其中一個設為 x 另一個設為 10減x 後面說以自身相乘 會等於另一部分的81倍 所以是其中一個數的平方 會等於另一個數乘81 哦 如果用現代的數學符號來表示的話 其實就是 x平方等於 81乘以括號10減x 的意思啦 你們看 過去和現在的表示法是不是差很多呢 所以說我們身在這個年代其實已經超幸福了啦 當然我們不會一次跳那麼多級 挑戰解這個複雜的題目啦 我們先從簡單的看起吧 還記得平方根的概念嗎 請問 x的平方等於25 的解為何呢 答案選 A x的平方等於25 其實就是 x是25的平方根的意思 所以 x等於根號25 和 x等於負根號25 因為根號25等於5 所以可以化簡成 x等於5 和 x等於負5 像這種兩個答案 正負性質符號不同 但是數字一樣時 習慣上我們可以寫成 x等於正負5 因此方程式的解為5 和 負5 接著我們看一下這個方程式 以前啊 我們看到這種一元二次方程式 是不是會想到要把左右兩邊乘開 接著移項讓等號右邊變成0 然後想辦法將等號左邊因式分解 但這時候你會發現 咦 這題怎麼因式分解不出來啊 沒有公因式可以提 也不是什麼乘法公式的展開 用十字交乘法做不出來 到底該怎麼解呢 其實啊 這題跟前面提到的平方根概念是一樣的哦 我們把括號內的 x減1 框起來看 框框內的平方會等於7 不就表示框內的 括號x減1 會是7的平方根嗎 所以框內的 x減1等於根號7 或 x減1等於負根號7 7 的平方根一樣只有正負號不同的 習慣上我們就會合併寫成 x減1等於正負根號7 最後再移項得到 x等於1加減根號7 因此這個一元二次方程式的解就是 1加根號7 和 1減根號7 同一個題型的題目換你來試試看吧 答案是 2加減根號3 這題我們也可以先把括號內的 x減2框起來看 框框內的平方會等於3 所以框內的數字會是3的平方根 那麼 x減2就等於 正負根號3 最後移項就可以得到方程式的解為 x等於2加減根號3囉 那麼如果方程式的等號左邊除了括號平方外 還有其他數字運算的話該怎麼辦呢 像是這題 等號左邊除了括號x加2平方外 還乘了一個3 這個時候我們一律要讓等號左邊 只剩下一個括號平方 所以我們可以先將方程式等號的左右兩邊同除以3 變成 括號x加2的平方等於11 那從剛剛的練習中發現 括號內的x加2 就會是等號右邊11的平方根 所以 x加2等於正負根號11 再移項變成 x等於負2加減根號11 這樣就可以得到方程式的解了 我們再看一下這個題目 2乘以括號x加4的平方加3等於7 這種前面乘了一個數 後面又加了一個數的 你會把它整理成我們熟悉的樣子嗎 答案選 B 像這種有乘又有加的 我們可以先用等量公理得到 2乘以括號x加4的平方等於4 接著將方程式等號的左右兩邊同除以2 得到 括號x加4的平方等於2 這樣就變成我們熟悉的樣子啦 所以答案選 B 現在變成 括號x加4的平方等於2 之後 x加4就是2的平方根啦 所以寫成 x加4等於正負根號2 再移項就得到 x等於負4加減根號2 這個就是方程式的解唷 透過這支影片 我們發現在解一元二次方程式時 也可以利用平方根的概念去解 如果方程式等號左邊還有其他數字運算的話 那麼就先移項化簡後 再利用平方根的概念來解方程式 接下來我們還會繼續學其他 解一元二次方程式的方法 那我們就下一支影片再見囉 掰掰