大家還記得這個方程式嗎 在上一支影片中我們有提到 這是一個等號左邊沒辦法被提公因式 利用乘法公式或用十字交乘法 因式分解的一元二次方程式 據說第一個解決這個問題的人 是偉大的數學家花拉子米 那今天我們就來看看 他到底是怎麼解決這個問題的吧 上一支影片中我們提到了 利用平方根的概念解一元二次方程式 x加2的平方等於2 當我們將這個方程式展開 會變成x平方加4x加4等於2 接著移項整理成 x平方加4x加2等於0 到這裡不知道你有沒有發現到什麼事 咦 這個不就是剛剛我們還不會解的那條方程式嗎 沒錯 那如果我們可以把 x平方加4x加2等於0 這條方程式 想辦法一步一步變成 括號x加2的平方等於2 像這樣的方程式我們不就可以利用 平方根的概念求出解了嗎 那左邊這種是透過展開 移項就可以得到的 似乎不難 但右邊這種要從x平方加4x加2等於0 得到括號x加2的平方等於2 該怎麼做呢 我們可以理解一下這個方程式的左邊 有沒有發現 其實就是把從已經展開的二次項 及一次項經過整理得到一個完全平方式 而這個過程就叫作 配方法 配方法其實意思就是將式子配成完全平方式的方法 那到底要怎麼從一個展開的一元二次式 配方成一個完全平方式呢 在此我們會利用到和的平方公式 或差的平方公式來幫助我們配方 例如這題 我們要怎麼在空格中填入適當的數字 讓等號右邊成為一個完全平方式呢 剛剛不是有說到 我們可以利用和的平方公式來幫助我們配方嗎 所以就先把和的平方公式寫出來 那我們上下比對觀察一下 咦 這時候我們的a不就是題目中的x嗎 所以我們把a都換成x 變成 x平方加2乘以x 乘以b加b平方 等於括號x加b的平方 再繼續與第一個式子比對 2x乘以b要等於4x 那b不就等於2嗎 所以我們把b都換成2後 會變成x平方加4x加2平方 等於括號x加2的平方 這樣空格內的數字就都出來了呢 正方形空格可以填入 2的平方或是 4 三角形空格可以填入2 接下來我們看一下這個問題 我們可以利用差的平方公式來做配方法 一樣我們要在空格中填入適當的數字 讓等號右邊變成一個完全平方式 第一步一樣先寫出差的平方公式 再來上下比對一下可以發現 a就是x 所以把a都換成x 變成 x平方減2乘以x乘以b 加b平方 等於括號x減b的平方 繼續與題目比對會發現 2x乘以b要等於6x 這樣b就等於3 所以把b都換成3會變成 x平方減6x加3的平方 等於 x減3的平方 這樣空格內的數字就都知道了 正方形空格可以填入3的平方或是9 而三角形空格可以填入3 從剛剛看到的這兩題中 我們可以觀察一下框框中填入的數字 跟等號左邊的一元二次式中的一次項係數 有沒有什麼樣的關聯呢 答案選 A 和 B 咦 發現正方形方格與三角形方格間的特殊關係了嗎 這個特殊關係做配方法時 二次項係數一定要是 1 這個特別的關係才會成立哦 現在我們來看一下為什麼會有這個關係吧 當今天有一個一元二次式 x平方加mx 要如何配方成完全平方式呢 跟剛剛的步驟一樣我們先寫出和的平方公式 a就是題目中的x 所以先變成x平方加2乘以x 乘以b加b平方 等於 括號x加b的平方 與題目對照後我們希望 2x乘以b要等於mx 所以 2b等於m 那麼我們將2b等於m的等號兩邊同除以2 變成b等於2分之m 等號兩邊同時平方會變成 b平方等於括號2分之m的平方 所以可以發現原本的一次項係數是m的時候 我們會希望多加上括號2分之m的平方 這樣就可以配出完全平方式 括號x加2分之m的平方 那如果是x平方減mx呢 一樣我們可以透過相同步驟發現 只要幫式子加上括號2分之m的平方 就可以配出完全平方式 括號x減2分之m的平方 那麼換你們練習看看這題囉 答案是 x平方加8x加16 等於 括號x加4的平方 從剛剛的觀察中我們發現 這題等號左邊的二次項係數是1 所以當 x平方加8x要配成完全平方式的時候 完全平方式中的三角形 會是左式中一次項係數的2分之1 所以三角形等於2分之8等於4 而正方形又會是三角形的平方 所以正方形等於4的平方等於16 當然這是比較快速的解法 而這個特殊關係也只適用於 二次項係數是1的時候哦 如果還不熟悉的話 也可以用我們一開始 一個一個比對的方式找出答案唷 現在我們來看一下如何利用配方法 解一元二次方程式吧 還記得我們一開始提到的這個方程式嗎 x平方加4x加2等於0 這題的等號左邊沒辦法透過用 因式分解的方式找出x的解 這時候就可以利用剛剛學會的配方法啦 但是有沒有發現剛剛我們在對式子做配方時 都是在只有二次項和一次項的情況下做 所以可以先把等號左邊的常數項 利用等量公理移項到等號右邊 再對左邊的式子配方哦 那麼左式的配方過程就像剛剛練習的那樣 檢查二次項係數是 1 利用快速的方法 我們要加上一次項係數一半的平方 所以是加上括號2分之4的平方 才能配成完全平方式 也就是加2的平方 當在對等號左邊的一元二次式配方時 要記得等量公理 方程式等號左邊加上2平方時 等號右邊也要記得加2平方 才能讓這個方程式與原來的方程式是一樣的哦 接著等號左邊就可以寫成 x加2的平方 等號右邊是 負2加2的平方 所以得到2 這樣我們就完成幫方程式等號左邊的式子 配方的步驟囉 此時 括號x加2的平方等於2 就可以利用先前學過的平方根概念 來求出一元二次方程式的解囉 今天我們都練習如何做配方法而已 如何利用配方法解一元二次方程式呢 期待一下 我們就下集待續吧 在今天這支影片中 我們介紹了配方法就是利用和的平方公式 或差的平方公式來將一個 一元二次式配方成完全平方式 也發現了一個快速的方法做配方法 當二次項係數是1時 只要加上一次項係數一半的平方 就可以配成完全平方式了 最後了解到將配方法運用在解方程式時 要先將等號左邊的常數項移項到等號右邊 接著對等號左邊的式子做配方法時 要特別注意等量公理 等號左邊加上什麼數字 等號右邊就要記得加上一樣的數 那下一次我們就會真正開始 練習利用配方法解一元二次方程式囉 我們下一支影片見囉 掰掰