還記得上一次幫助狐狸貓和小數蛙 成功走出配方世界迷宮的秘笈嗎 有沒有發現上次在利用配方法 解一元二次方程式時 都依照固定步驟做呢 我們今天就來看看 當一個一元二次方程式 在依照秘笈的步驟求解時 會有什麼特別的發現吧 假設今天有一個一元二次方程式是 ax平方加bx加c等於0 透過配方秘笈知道 第一步驟是要讓二次項係數為1 所以我們可以在等號兩邊同除以a 使方程式變成 x平方加a分之bx加a分之c等於0 第二步是將等號左邊的式子的 常數項移到等號右邊 變成 x平方加a分之bx等於負a分之c 接下來為了要將等號左邊的式子 配成完全平方式 所以在等號兩邊同時加上 一次項係數一半的平方 也就是等號兩邊同時加上 括號2a分之b的平方 如此一來等號左邊就可以配成完全平方式 括號x加2a分之b的平方 等號右邊乘開後 通分整理後會得到 4a平方分之b平方減4ac 這裡等號右邊的 4a平方分之b平方減4ac 已知分母的4a平方大於0 如果分子的b平方減4ac 大於等於0 則4a平方分之b平方減4ac 就會大於等於0 那麼 括號x加2a分之b的平方 等於4a平方分之b平方減4ac 就可以做最後一步利用平方根概念求解 得到x加2a分之b等於 正負根號4a平方分之b平方減4ac 再經過整理後會等於 正負2a分之根號b平方減4ac 最後移項得到 x等於 負2a分之b 加減2a分之根號b平方減4ac 因為分母一樣 我們會併成 x等於 2a分之負b 加減 根號b平方減4ac 咦 到這裡大家有沒有發現 哦 原來當b平方減4ac大於等於0時 一元二次方程式 ax平方加bx加c等於0的解 就是 x等於2a分之負b加減根號b平方減4ac 而這個啊 我們就稱它為公式解 我有個問題 這個公式我們一定要背嗎 嗯 如果啊我們把這個公式解記起來的話 以後我們就可以省去配方法及平方根求解的時間 直接把一元二次方程式的係數 都帶入這個公式解中 這樣答案很快就出來了啊 是不是很方便呢 狐狸貓 對耶 那我要趕快把這個公式記起來 前面我們在討論這個公式解時 都是假設 b平方減4ac大於等於0的時候 會得到 x等於2a分之負b 加減 根號b平方減4ac 那現在我們可以更深入一點去討論 當b平方減4ac為正數 0或是負數的時候 方程式的解又會有哪些情況呢 我們先來看看第一種 當b平方減4ac大於0時 剛剛我們已經知道由公式解得知方程式的解為 x等於2a分之負b 加減 根號b平方減4ac了 所以當根號內的b平方減4ac大於0時 可以得到兩個不同的解 x等於2a分之負b加根號b平方減4ac 和 x等於2a分之負b減根號b平方減4ac 例如x平方加3x加2等於0 這個方程式 這時候的a等於1 b等於3 c等於2 b平方減4ac等於 3的平方減4乘以1乘以2等於1 所以b平方減4ac大於0 那我們知道方程式的解是 x等於 2a分之負b 加減 根號b平方減4ac 所以我們把數字代入 得到 x等於 2乘以1分之負3加減根號1 因此方程式的兩個解為 x等於2分之負3加1 和 x等於2分之負3減1 計算得到x等於負1 和 x等於負2 此時我們可以發現 當b平方減4ac大於0的時候 方程式會有兩個相異的解 接著來看第二種情況 當b平方減4ac等於0時 一樣從剛剛的公式解得知方程式的解為 x等於2a分之負b 加減根號b平方減4ac 那麼當根號內的b平方減4ac等於0時 x會等於2a分之負b加減根號0 因為加0跟減0是一樣的 所以兩個根都等於2a分之負b 例如 x平方加6x加9等於0 這個方程式 這時候的a等於1 b等於6 c等於9 b平方減4ac等於 6的平方減4乘以1乘以9等於0 所以b平方減4ac等於0 那麼我們知道方程式的解是 x等於2a分之負b 加減根號b平方減4ac 所以我們把數字代入得到 x等於 2乘以1分之負6加減根號0 因此方程式的兩個解為 x等於2分之負6加0 和 x等於2分之負6減0 計算得到 x等於負3 和 x等於負3 這時候我們發現當 b平方減4ac等於0的時候 此方程式會有兩相同解 最後我們來看當b平方減4ac小於0時 我們將剛剛推導的過程回到上一步 括號x加2a分之b平方 等於4a平方分之b平方減4ac 因為4a平方大於0 所以當b平方減4ac小於0時 4a平方分之b平方減4ac 就會小於0 那麼 括號x加2a分之b的平方會小於0 但因為我們找不到任何一個數x 可以讓 括號x加2a分之b的平方小於0 因此在b平方減4ac小於0的情況下 此方程式無解 我們一樣來看一個例子 x平方加2x加2等於0 這個方程式 這時候的a等於1 b等於2 c等於2 b平方減4ac等於 2的平方減4乘以1乘以2等於負4 所以b平方減4ac小於0 我們知道方程式的解是 x等於 2a分之負b 加減根號b平方減4ac 所以我們把數字代入得到 x等於2乘以1分之負2加減根號負4 可是我們之前學過根號裡面不能是負數 所以此方程式無解 那麼從前面的討論中可以發現 原來我們只要計算b平方減4ac的值 是正數 0或是負數 就能夠快速判斷方程式解的情形 因此我們又稱b平方減4ac 為方程式 ax平方加bx加c等於0 的判別式 在此要給大家一個小提醒 當我們要直接利用公式解解題時 要記得先把一元二次方程式整理成 ax平方加bx加c等於0 這種等號右邊為0的樣子 才可以將數字代入公式中哦 在這支影片當中 我們透過配方法解一元二次方程式的步驟得到 一元二次方程式 ax平方加bx加c等於0 的公式解為 x等於2a分之負b 加減根號b平方減4ac 其中 b平方減4ac為一元二次方程式 ax平方加bx加c等於0 的判別式 當b平方減4ac大於0時 方程式會有兩相異解 當b平方減4ac等於0時 方程式會有重根 當b平方減4ac小於0時 方程式無解 這些大家都記起來了嗎 那我們就下一支影片見囉 掰掰