人類的數學文明從數數開始 一隻羊 兩隻羊 三隻羊等等 這些計算物品用的數 1 2 3 4 5 可以無限的延伸下去 稱為自然數或正整數 接著人類用0這個數來表示 沒有或基準的概念 如果比基準要高為正 那麼比基準要少便為負 例如 火箭發射時刻為0秒 火箭發射前10秒記為-10秒 火箭發射後10秒記為正10秒 正 負相對的概念常出現在生活中 數學基於實用的觀點 將這些具有相反概念的數量 前面加上一個負號 如-5度 -100公尺 -10秒等 代表一個新的數量 因此像-1 -2 -3 一直到-10 -11 我們稱它們為負整數 而原來的自然數就稱為正整數 按大小順序呈現在數線上 可以看到負數 0以及正整數的相對位置 在數學家族中 我們將全體的正整數 0 負整數統稱為整數 隨著文明的演進 除了上面提的整數之外 人類也開始運用不同的符號 來表示更複雜的問題 例如將7塊鬆餅均分給3個人 每個人可得2塊 還剩下1塊 每人分到的份量只能以分數 3分之7塊來表示 我們將這些可以表示成分數型式的數 稱為有理數 數學上的定義為 設m n都是整數 且n不等於0 凡是可以表成整數比的數 都稱為有理數 根據上面的定義可以發現 所有的整數都是有理數 例如整數2可以寫成1分之2 整數3可以寫成1分之3 0 可以寫成1分之0 -2可以寫成1分之-2 等等 任何一個整數n都可以寫成1分之n 有理數的表示方法並不是唯一的 例如3分之2等於6分之4等於9分之6 等等 其中3分之2的分子分母不能再約分 稱為最簡分數 因為有理數n分之m也表示m除以n的數 所以我們也可以用長除法來將分數化為整數 有限小數或循環小數喔 想想看要如何將下列各有理數化成整數或小數呢 從第一和第二個例子中 只要用在長除法的過程中 當某個步驟餘數出現0時 就可以停止運算了 這時候有理數可以化成有限小數 包含整數 所以第一題的答案是165 第二題則是1.75 他們都是有限小數 接著我們來進行第三個例子的長除法 我們觀察以除法來把7分之3化成小數的過程中 3除以7的餘數 依照順序2 6 4 5 1 3 當2又再度出現的時候 之後的餘數也會依照順序重複出現 這個時候得到的商 在小數點以後的數字4 2 8 5 7 1 也會依序不斷的跟著循環出現 我們將這種小數稱為循環小數 記為7分之3等於0.428571428571 等於0.428571循環 讀作零點428571 428571循環 在循環小數中 小數點之後重複出現的那一段數字稱為循環節 例如上述這個例子的循環節為428571 綜合上面的三個例子 在用除法將有理數n分之m最簡分數 化成小數的過程中 如果可以除盡 也就是說某步驟出現的餘數為0 就可以將分數化為有限小數 如果除不盡 也就是每一步驟的餘數都不為0 由於除數為n 則餘數出現的數字最多只有n減1種可能 即為1 2一直到n減1 所以從第一個餘數開始觀察 最多只要經過n次除以n的操作 餘數出現的數字就會重複循環出現 一旦餘數重複出現 所得的商也會跟著重複出現 而形成循環小數 從上面的推論就可以知道 當分母為n的最簡分數可表為一個循環小數時 他的循環節的位數不會大於 n減1 例題1中我們利用長除法將5分之825 4分之7 與 7分之3化為整數 有限小數或循環小數 一般而言當有理數n分之m化為小數時 它只能化為整數 有限小數或循環小數 反過來是不是每個有限小數或循環小數 也都可以化為有理數的形式呢 我們來看底下的兩個例子 試著將下列有限小數化為最簡分數吧 沒錯可以透過除以10的倍數 把有限小數化成有理數 對於循環小數我們也可以這樣 很直覺 簡便的方式來把他們化成分數 不過在說明方法之前 我們先來想想該怎麼做 這裡的關鍵是乘上十的倍數 如此一來相減後循環部分會被消掉 例如第一題只要將原本的循環小數乘上10 就可以得到10x等於3.3循環 接著將兩式相減之後可以得到9x等於3 因此0.3 3循環等於3分之1 第二和第三題也是一樣 只要將0.32 32循環乘上100 將0.42 2循環乘上10 也可以依照同樣的方法將小數化成分數形式 範例2 3的方式告訴我們 每個有限小數與循環小數都可以化成有理數的形式 最後請大家模仿前面的計算方式 將下列各小數化成最簡分數 讓我們來回顧一下這個章節學到的重點 所有的的有理數都可化成整數 有限小數或循環小數 整數 有限小數或循環小數都是有理數 有理數就是整數 有限小數或循環小數 我們可以畫出有理數的數字家族 最後請大家思考一個小問題 有沒有方法從最簡分數的形式 判斷它是有限小數還是循環小數呢