請問各位同學 任意兩個有理數作加 減 乘 除 除數不可以是0 四則運算後是不是還是有理數呢 答案是肯定的 為什麼呢 我們來複習一下以前學過的運算規則 設a分之b c分之d為有理數 則有理數的加法先通分化成相同分母ac 再進行分子相加 結果仍為有理數 例如 2分之1加3分之1等於6分之5 減法也一樣先通分化成相同分母ac 再進行分子相減 結果仍為有理數 例如 2分之1減3分之1等於6分之1 接下來是乘法的部分 分子乘分子 分母乘分母 結果仍為有理數 例如 3分之2乘以5分之4等於15分之8 最後是除法 若除數c分之d不等於0 則a分之b除以c分之d 等於a分之b乘以c分之d的倒數 等於a分之b乘以d分之c 例如 2分之1除以5分之3 等於2分之1乘以3分之5 等於 2乘3分之1乘5 等於 6分之5 因此我們有以下結論 任意兩個有理數作加 減 乘 除 除數不可以是0 運算後所得的數仍然是有理數 這種特性稱為有理數對於四則運算具有封閉性 接下來讓我們思考討論看看 整數對於加 減 乘 除等運算是否具有封閉性 解答 因為兩個整數相加 減 乘 所得的數仍然是整數 但兩個整數相除則不一定是整數 例如 3加5等於8 是整數 3減5等於負2 是整數 3乘以5等於15 是整數 3除以5等於5分之3 是有理數 因此整數對於加 減 乘法等運算具有封閉性 對於除法運算則否 接著我們已經知道每個整數 都可以在數線上找到對應的點 那是不是所有的有理數 都可以在數線上找到對應的點呢 答案是肯定的 以3分之5為例說明 3分之5就是把5三等分 我們可以用三個步驟 在數線上標示出3分之5所對應的點 步驟1 令O為數線的原點 在數線上取A點坐標為5 步驟2 如下圖所示 過原點O做射線L 以O為圓心適當長為半徑畫弧 交射線L於P1 再以P1為圓心 OP1長為半徑畫弧 交L於P2 以P2為圓心 OP1長為半徑畫弧 交L於P3 於是我們有OP1等於P1P2等於P2P3 步驟3 連AP3 過P1作PP1平行於AP3 交數線於P 藉由相似三角形邊長成比例的性質 即 OP3分之OP1等於3分之1 等於OA分之OP 也就是OP等於3分之1 乘以OA 等於3分之1 乘以5 等於3分之5 因此P點的坐標就是3分之5了 所以可以在數線上找到一個坐標為3分之5的點 仿照上述的作圖方法 對任意的有理數n分之m 都可以在數線上找到對應的點 我們稱這些點為有理點 練習題 上面的方法學會了嗎 那下面的題目就讓同學自己練習看看喔 我們前面已經作出正有理數3分之5的有理點 那麼對於負有理數3分之5所對應的有理點的做法 除了仿照前面三步驟的方法 標示出負3分之5所對應的點之外 我們也可以透過3分之5與負3分之5 對稱原點的特性 以原點為圓心3分之5長為半徑 用圓規朝數線負向畫弧 則此弧與數線的交點P prime 它的坐標就是負3分之5了 接下來來看整數的離散性及有理數的稠密性 在數線上任意兩個整數點之間 不一定存在其他的整數點 例如 兩個連續整數1和2之間 就不存在其他整數點 兩個連續整數3和4之間 也沒有其他整數點 這樣的性質我們稱為整數的離散性 但是任意兩個有理數之間 一定還可以找到其他的有理點 例如 對兩有理數1和2而言 其中點2分之1加2等於2分之3 是一個位於其間的有理數 同樣的1和2分之3的中點4分之5 是一個位於其間的有理數 2分之3和2的中點4分之7 也是分別位於兩數之間的有理數 這就是說在任意兩個相異的有理數a和b之間 都至少有一個有理數存在 例如 2分之a加b就是 以此類推就可以找到無限多個有理數介於a和b之間 因此有理點是密密麻麻 非常稠密的分布在數線上 這樣的特性稱為有理數的稠密性 認識有理數的稠密性後 我們來看看下面這個練習題 最後把前面學到的內容做個總結 同學都學會了嗎 如果還沒有了解這些概念 一定要找老師或是同學討論喔