相傳古希臘畢達哥拉斯學派信奉

萬物皆數 All is number

因此認為宇宙間的各種關係

都可以用正整數與其比例

也就是使用有理數來表達

可是有一個怪異的數字

破壞了這一切美好

根號2

相傳畢達哥拉斯發明了著名的畢氏定理

直角三角形兩股邊長的平方和

等於斜邊長的平方

畢達哥拉斯學派的門生Hippasus

透過研究邊長為1的正方形

發現了無理數的存在

這和畢達哥拉斯學派的哲學信仰

萬物皆數產生了矛盾

聽說Hippasus因此丟了小命

這支影片透過Hippasus的偉大發現

簡短介紹何謂無理數

我們前面單元有提到過有理數

就是可以表示成p分之q形式的數

其中p q是整數 p不等於0

但Hippasus發現的根號2卻不是有理數

因為它無法表示成p分之q的形式

為什麼呢

因為假如根號2是有理數

那麼根號2可以表示成p分之q的形式

其中p q是整數 p不等於0

兩邊平方可得2等於p平方分之q平方

移項得q平方等於2p平方

由於p平方和q平方為完全平方數

那麼p平方和q平方的質因數分解式中

所有質因數的次方都是偶數次方

由q平方等於2p平方的式子得知

q平方的質因數分解式中有2

故2的次方為偶數次方

但2p平方的質因數分解式中

2的次方會是奇數次方

也就是q平方和2p平方的因式分解中

等式左右兩邊2的次方不相等

這和質因數分解式的唯一性矛盾

我們剛剛論證根號2不為有理數的方法

稱為反證法

其原理是從假設結論不成立出發

經過一系列的推理

最後導出矛盾的結果

從而論證假設結論不成立是錯誤的

因此結論成立是正確的

由前面的單元得知

雖然數線上的有理數點密密麻麻

但經由前面的論述可知

數線上的點不全是有理數點

例如根號2在數線上

這種不是有理數點所對應的數

稱為無理數

因為有理數就是整數

有限小數或循環小數

故無理數化成小數後

是不循環的無限小數

事實上對任意正整數n

當n不是完全平方數時

形如根號n的數皆為無理數

此外還有圓周率π和自然對數的底e

也是無理數喔

我們生活中使用的影印紙有A3 A4大小的

也有B4大小的

你們知道紙張尺寸是怎麼得到的嗎

我們觀察A4的長寬

將長除以寬大約是

201分之297 約等於1.414

這個數字就是國中我們記的

根號2的近似值

事實上A4的長寬比正是根號2比1

這個比例也許是人們為了方便

希望只要制定最一開始的紙張尺寸

剩下的都可以用它裁切得到

並且規格還能一致

最方便的裁法就是對折再切

例如將A3沿著長的那邊對折

裁開後就是A4

也就是說A3的面積是A4的兩倍

經過計算知道A3的長寬比也是根號2比1

本單元介紹了無理數根號2

下個單元會介紹一些無理數的作圖與計算

請各位同學拭目以待喔