在數線上決定原點的位置 以及一個單位的長度之後 我們便可以透過圓規 來畫出所有整數的位置 如果我們要利用尺規作圖 找出3分之5在數線上的位置 那麼只要畫出一條過原點的斜直線L 在L上從原點取出3段等長的連續線段 依序得到P P P 連接P 與數線上5所在的點 此線段將決定直線L 再由P 畫出與L 平行的直線L 則L 與數線的交點即為有理數3分之5的位置 因為任意有理數 皆可以表示為兩個整數的比值 所以對於任意整數n m 所形成的有理數n分之m來說 我們便可以透過尺規作圖中 畫平行線的技巧 來找到此有理數在數線上的位置 既然有理數都可以透過尺規作圖 畫出在數線上的位置 那麼無理數呢 舉例來說如何透過尺規作圖 找出根號2在數線上的位置呢 我們可以先這樣做 先在數線上找出0與1的位置 然後在1畫出垂線並取點P 使得P點到數線上1的距離為單位長度 利用畢氏定理可知 P點到數線上原點O的距離即為根號2 再利用圓規以原點O為圓心 以長度OP線段為半徑畫弧 此弧與數線的交點即為根號2在數線上的位置 這個單元我們關心的是 對於一個正整數的正平方根 例如根號2 根號3 根號10 是否都可以使用尺規作圖 在數線上找出它們的位置呢 由剛剛根號2的例子 我們可以畫出垂線 並取出單位長度作一個直角三角形 接著在此直角三角形的斜邊端點 再次畫出單位長度的垂線段 作下一個直角三角形 重複這樣的動作 得到無數個直角三角形 透過畢氏定理可知 這些直角三角形的斜邊依序為 根號2 根號3 根號4 根號5 根號6 依此類推等等 所以我們就可以在數線上 依序畫出根號2 根號3 根號4 根號5 根號6 依此類推等正整數平方根的位置 雖然這樣的方式的確可以畫出 任意正整數的平方根 但若正整數n太大 我們會發現這樣的作圖效率並不高 而且作圖的畫面 會越來越混亂以致於難以辨識 那麼對於任意正整數n 有沒有比較有效率的作圖方式呢 答案是肯定的 這個時候我們只要能運用國中所學的 圓內冪性質 即可輕易的畫出根號n的長度喔 給定一個圓 若兩條弦AB線段與CD線段交於P點 則PA線段乘以PB線段 等於PC線段乘以PD線段恆成立 這就是圓內冪性質 現在我們就來說明如何運用 圓內冪性質來進行根號15的尺規作圖 1.先將15表示為兩個正整數的乘積3×5 2.在直線L上畫出兩線段 PA線段等於3與PB線段等於5 3.畫出線段AB線段的中垂線 交線段AB於Q點 4.以Q點為圓心 QA線段為半徑畫圓 由於QA線段等於QB線段 所以此圓也通過B點 5.過P點畫出L的垂線L 則L 交此圓於兩點C D 因為CD線段為垂直直徑的弦 所以PC線段等於PD線段 根據圓內冪性質可知 PA線段乘以PB線段 等於PC線段乘以PD線段 又因為PA線段乘以PB線段 等於3×5 且PC線段乘以PD線段 等於PC線段的平方 所以可知 PC線段的平方等於3×5 因此PC線段的長度就是根號15 這表示我們可以透過尺規作圖 畫出根號15在數線上的位置 對於一般的正整數n 只要能夠將n分解為兩個正整數乘積 n=a×b 利用圓內冪性質即可有效率的 用尺規作圖找出根號n在數線上的位置 在瞭解了根號n的尺規作圖之後 那麼在手邊沒有計算機的情況下 該如何評估根號n的近似值呢 我們知道當正整數n不是完全平方數時 根號n必為無理數 也就是不循環的無限小數 雖然無法完整的求出小數的部分 我們依然可以透過十分逼近法 來逐漸估計出根號n的值 以根號2為例說明如下 因為2大於1的平方小於2的平方 所以根號2大於1小於2 因為2大於1.4的平方小於1.5的平方 所以根號2大於1.4小於1.5 因為2大於1.41的平方小於1.42的平方 所以根號2大於1.41小於1.42 因為2大於1.414的平方小於1.415的平方 所以根號2大於1.414小於1.415 目前為止我們即可以說 根號2近似於1.414 其中此三位小數點皆為精確值 當我們逐步使用十分逼近法時 即可持續的讓小數點的值越來越精確 根號2的近似值就會越來越精確 而對於一般的正整數n 我們也可以用這樣的方式來估計根號n的值