酷客高中的圍牆邊剛好有一塊空地

若校方想用30公尺長的圍籬

在圍牆邊圍出一個矩形花圃

其中BC線段邊的中央留著寬2公尺的出入口

則花圃面積最大值為何

此時AB線段與BC線段的長度

分別是多少公尺呢

這個問題我們可以用算幾不等式找出答案

在介紹算幾不等式之前

我們先介紹兩個名詞

算術平均數跟幾何平均數

給定兩非負實數a b

我們定義a b的算術平均數為2分之a加b

a b幾何平均數為根號ab

想想看

算術平均數跟幾何平均數有什麼關係呢

從這三個例子我們發現

2分之a加b大於等於根號ab

事實上對於任意兩非負實數a b

這個不等式都會成立

同時也可以看到

當a等於b時等號成立

我們稱此不等式為算幾不等式

也就是算術平均數恆大於等於幾何平均數

這邊要提醒同學

因為幾何平均數僅適用於非負實數

因此算幾不等式的a b一定要大於等於0

算幾不等式的敘述如下

設a b大於等於0

則2分之a加b大於等於根號ab

當a等於b時等號成立

反之亦然

要證明這個不等式

相當於證明2分之a加b減根號ab大於等於0

我們先將2分之a加b減根號ab通分

得到2分之a加b減2根號ab

因為a b皆為非負實數

所以a等於根號a的平方

b等於根號b的平方

根號ab等於根號a乘以根號b

因此上式等於

2分之根號a的平方加根號b的平方

減2根號a乘以根號b

整理後得到

2分之括號根號a減根號b的平方

大於等於0

當a等於b時

2分之括號根號a減根號b的平方

等於0

因此2分之a加b等於ab

反之當2分之a加b等於根號ab時

2分之括號根號a減根號b的平方

等於0

故a等於b

除此之外我們可以用幾何的方法

得出算幾不等式

在直線上取AC線段等於a

BC線段等於b

使得AB線段等於a加b

接著以AB線段為直徑做一半圓

並令其圓心為O

最後作CD線段垂直AB線段

交半圓於D點

1.當a不等於b時

連接AD線段 BD線段與CD線段

因為AB線段為直徑

所以角D為直角

根據母子相似性質

三角形ACD與三角形DCB為相似三角形

因此CD線段分之AC線段

等於BC線段分之CD線段

交叉相乘得到

CD線段等於根號AC線段乘以BC線段

等於根號AB

又因為OD線段為半徑

所以OD線段等於2分之A加B

最後觀察三角形OCD的邊長

可知2分之a加b大於等於根號ab

2.當C點與O點重合

即AC線段等於BC線段時

OD線段等於CD線段

換言之2分之a加b等於根號ab

仔細觀察算幾不等式的形式

不等式的左邊是兩數相加

右邊是兩數相乘

因此算幾不等式告訴我們

兩數相加與相乘的關係

相加除以2大於等於根號相乘

接下來我們來看看算幾不等式的應用

觀察一下因為邊長一定是非負實數

且題目給兩數之和

問兩數乘積

所以我們可用算幾不等式

2分之a加b大於等於根號ab

得到2分之6大於等於根號ab

兩邊平方得出9大於等於ab

當等號成立時a等於b

又a加b等於6

所以當a等於b等於3時

矩形面積有最大值9

此時的矩形為正方形

學了算幾不等式後

現在我們來解決一開始的問題吧

在這個單元中我們學到算幾不等式

並分別用代數跟幾何的角度

證明這個不等式

最後我們練習了算幾不等式的應用

在算幾不等式的兩個證明中

像這樣用幾何圖形觀察出算幾不等式的方式

因為沒有用到任何的文字

在數學上稱為無字證明

有興趣的同學可以再去找找

還有哪些有趣的無字證明唷