書局舉辦週年慶 班上同學決定一起團購文具用品 班長來到書局買了12支原子筆和8個立可帶 結帳時發現原子筆和立可帶 打折後價錢都是26元 請問消費總金額是多少錢呢 班長和店員兩個人用了不同的算法 班長先算原子筆和立可帶的總件數 再乘上每件的價錢 也就是總件數共20件 每件26元 總共消費 括號12加8乘以26 店員則先算原子筆總價12乘以26 再算立可帶價錢 8乘以26 然後再將原子筆和立可帶總價加起來 他們算出來的價錢是否相同呢 從上面的算式可以算出 括號12加8乘以26 等於 520 12乘以26加8乘以26 等於312加208 也等於 520 他們雖然用了不同的算法 但是總金額還是相同的 由此可知 括號12加8乘以26 等於12乘以26加8乘以26 這就是乘法對加法的分配律 括號 加 b 乘以 c 等於 c 加 bc 繼續延伸下去 我們可以推導出 括號 加 b乘以括號c 加 d 等於 c 加 d 加 bc 加 bd喔 回顧剛剛的乘法分配律 我們繼續延伸 可以推導以下結果 代數算法 括號 加b乘以括號c加d 等於 c加 d加bc加bd 這就是用乘法分配律一個一個乘開來的結果 今天我們可以換一個方式來說明乘法分配律 圖形作法 換成用圖形的面積方式來呈現 相信大家可以更清楚喔 我們可以將這個長為 括號 加b 寬為 括號c加d的長方形 分隔成四個小的長方形 分別為 c左上方 d左下方 bc右上方 bd右下方 四個小長方形的面積 所以這四塊長方形面積相加 就是原來大的長方形的面積 故 括號 加 b乘以括號c 加 d 等於 c 加 d 加 bc 加 bd 分配律的概念了解後 我們可直接延伸推導出不一樣的乘法公式 如 和的平方公式 括號 加 b的平方 等於 平方 加 2 b 加 b平方 代數算法 括號 加 b的平方 等於 括號 加b乘以括號 加b 等於 平方 加 b 加 b 加 b平方 b等於b 可合併 等於 平方 加 2 b 加 b平方 同樣的我們也可以用圖形面積方式來理解 大正方形的邊長等於 加b 所以面積等於 括號 加b乘以括號 加b 我們也可以分開求得每一塊圖形的面積 大正方形的面積 等於 平方加 b 加 b 加b平方 也可以計算出相同的結果 有沒有發現 用圖形面積的方式來理解也蠻有趣的 再來我們繼續介紹差的平方公式 差的平方公式 括號 減 b的平方 等於 平方 減 2 b 加 b平方 代數算法 括號 減 b的平方 等於括號 減 b乘以 括號 減 b 等於 平方 減 b 減 b 加 b平方 b等於b 同類項可合併 等於 平方 減 2 b 加 b平方 相信大家都學會了 也可以試著自己用面積的方式推導一下喔 接下來我們繼續推導平方差公式 平方差公式 括號 加 b乘以括號 減 b 等於 平方 減 b平方 代數方法 括號 加 b乘以 括號 減 b 等於 平方 減 b 加 b 減 b平方 等於 平方 減 b平方 圖形方法 我們可以發現 括號 加 b乘以括號 減 b 為藍色這塊長方形面積 這塊長方形面積等於 綠色面積減粉紅色面積 加黃色面積減淺橘色面積 透過面積的方式證明 是不是更容易理解了呢 接下來我們來做些練習 熟練我們的公式 並體驗一下公式好用的地方 題目一 206的平方等於 206的平方等於 括號200 加 6的平方 等於 200的平方加2乘以200乘以6加6平方 等於 40000 加 2400 加 36 等於 42436 若我們直接乘開 會因為數字太大很難計算 但我們像這樣拆成200加6 再利用公式就會比較好算呢 題目二 199的平方等於 199的平方 等於 括號200 減 1的平方 等於 200的平方減2乘以200 乘以1加 1的平方 等於 40000 減 400 加 1 等於 39601 這裡的199若直接乘開會很難計算 但我們拆成200減1 再搭配公式就好算很多呢 題目三 計算長為107公分 寬為93公分的長方形面積為多少平方公分 答案是9951平方公分 第一個方法 107乘以93 等於 9951 第二個方法 107乘以93 等於括號100加 7 乘以括號100 減 7 等於 100的平方減 7的平方等於 9951 我們可以觀察到 107等於100加7 93等於100減7 他們都與100相差7個單位 這時我們就可以利用平方差公式直接計算 變得更好算了呢 三項和的平方公式 括號 加b加c的平方 等於 平方 加 b平方加 c平方 加 2乘以括號 b 加 bc加 c 前面的公式都只有兩個未知數 若是改成三個未知數呢 只要我們善用分配律的性質 我們會發現其實沒有很困難喔 代數方法 括號 加b加c的平方 等於 括號 加b加c 乘以括號 加b加c 等於 平方加 b加 c加b 加b平方 加bc加c 加cb加c平方 等於 平方加b平方加c平方 加2乘以括號 b加bc加c 圖形方法 即使是未知數有3個 我們一樣可以用面積的方式推導出來呢 接下來我們做些小測驗練習一下 最後我們將前面所學的公式做個總結 我們可以試著想想看 你將會發現只要用相同思考邏輯 我們一樣可以推導出來的 同學都學會了嗎 這些公式是我們高中運算的基礎 若我們能熟練並善用這些性質 就可以讓複雜的算式變得更好計算呢