上一堂課我們買了好多的原子筆和立可白

並說明了二次乘法公式

各位還記得嗎

我們先來複習一下之前學過的乘法公式

接著我們往前跨一步

從平方變到立方

要從二次乘法公式延伸到三次乘法公式了

在高中主要的三次乘法公式有哪些呢

主要有以下四個公式

那麼這四個公式該如何推導出來

如果還記得之前乘法對加法的分配律

你會發現並不難喔

首先我們就先從和的立方公式開始吧

接下來來看和的立方公式要如何推導

我們知道a加b括號的三次方

可以看成a加b自乘三次

所以可以把它寫成

a加b括號的平方再乘上a加b

那在上一個單元有講到

a加b括號的公式是什麼呢

就是a平方加上2ab再加上b平方

最後乘上後面的a加b

接著就可以利用乘法對加法的分配律

把它一個一個乘開

接下來我們繼續整理

a三次方照寫

再來如果是同類項的可以合併

也就是這裡的a平方b加上這裡的兩個

合起來是3個a平方b

另外這裡的2ab平方

加上後面的ab平方

變成3ab平方

最後再加上b的三次方

所以a加b括號的三次方就被推導出來

會等於a的三次方加3a平方b

加3ab平方再加上b的三次方

這就是和的立方公式

讓我們來練習一下剛剛推導出來的立方和公式

接著我們來看差的立方公式

a減b括號的三次方

首先我們可以把它拆開來

變成a減b括號的平方乘上a減b

那這邊我們是可以把它拆開來的

它會等於a的平方減掉2ab再加上b的平方

後面照寫乘上a減b

接著就可以利用乘法對加減法的分配律

把它一個一個乘開

接下來我們一樣把同類項合併

如此一來我們就推導出

a減b括號的三次方會等於

a三次方減掉3a平方b

加上3ab平方

減b的三次方

題目二

剛剛我們已經得到括號a加b的三次方

等於a三次方加3a平方b

加3ab平方加b三次方

只要我們稍微移項整理

就可以推出立方和公式

a三次方加b三次方

等於 括號a加b乘以括號a平方減ab加b平方喔

那它是怎麼推導的呢

首先我們先將a三次方跟b三次方照寫

然後再把紅色的3a平方b和3ab平方

移到等號的另外一邊

接下來就可以再把它做合併

有沒有看到括號裡面它們有沒有共同的東西

沒錯 它們有共同的公因式3ab

所以可以把它的公因式提出來

寫成a加b的三次方減掉3ab乘上括號a加b

可以發現

前面的a加b的三次方

可以拆成a加b的平方乘上a加b

它們後面是不是都有共同的公因式

就是a加b

所以我們就可以再把它提出來

寫成 a加b再乘上中括號a加b的平方再減掉3ab

接下來再把它整理一下

因為括號a加b的平方可以拆開變成

a平方加ab加上b平方

所以又可以寫成

a加b再乘上a平方加2ab減掉3ab

變成減ab

最後就會得到a三次方加上b的三次方

等於a加b乘上a平方減ab加b平方

這就是立方和的公式喔

剛剛a三次方加b三次方

我們叫立方和

那麼a三次方減b三次方

我們就叫做立方差

同理立方差公式也可以用差的立方公式推導出來喔

首先我們可以先將差的立方公式移項得到

a三次方減b三次方

等於a減b括號的三次方

加3ab乘以括號a減b

接著再用之前的方法整理一下

就可以得到 a三次方減b三次方

等於括號a加b乘以括號

a平方加ab加b平方的公式了

同學可以試著練一下喔

接下來我們做些小測驗練習一下

我們現在先把這個係數一個一個拿出來看

當我們把他們列下來

我們就會發現他們的係數之間真的有某種關係

他們的係數之間

就是上面兩個的和會等於下面的這個係數

很奇妙吧

這就是有名的巴斯卡三角形

我們會在後面的章節中

討論到巴斯卡三角形的原理

鼓勵同學們先思考看看這個可能的原因喔

大家都會了嗎

我們來回顧今天學到的公式

這些公式推導完後

也請把它記起來

它對我們日後做計算有很大的幫助呢