如果有一正方形面積為16

它的邊長為a

那麼a為多少呢

我們很容易知道因為4的平方等於16

所以邊長為4

但如果正方形面積是10

那邊長該如何算呢

多少的平方是10呢

對於這個問題

我們沒辦法找出任何一個整數的平方是10

那麼該怎麼做呢

我們可得滿足此條件的式子如下

a平方等於10

再推出a等於±根號10

但因為邊長必定為正數負數不合

故可得邊長為根號10

這個過程就是平方根的基本概念

我們再將平方根做清楚的定義如下

給定a為正實數或0

當實數x滿足x平方等於a

可得x等於±根號a

此時x稱為a的平方根

例如10有兩個平方根

分別為根號10和-根號10

其中根號10稱為正平方根

-根號10為負平方根

1. 最簡根式

另外習慣上我們會將平方根

寫成m分之n根號a的形式

其中m分之n為最簡分數

a為大於1的正整數

且不是任何完全平方數的倍數

這樣的形式稱為最簡根式

例如 2根號3

5分之3根號5為最簡根式

根號12 根號5分之3

不為最簡根式

那麼我們如何將根式化為最簡根式

舉例如下

根號18的最簡根式為何

我們可以將根號裡面的式子標準分解式為

根號3的平方乘以2

然後這裡的3的平方可以提出來到根號外面

變成3根號2

列式如下

根號18等於根號3平方乘以2

等於3根號2

2. 同類方根

根式經化簡後

最簡根式的根號內有相同數字即為同類方根

例如 2根號2 -5根號2

3分之根號2為同類方根

同類方根之間可以合併

例如 2根號2加5根號2

等於括號2加5乘以根號2

等於7根號2

這裡我們可以想像有2個根號2

再加上5個根號2

所以加起來為7個根號2

若根號裡面為分數

如何化為最簡根式呢

這裡我們先來複習之前國中學過的根式運算性質

根式的運算

一般而言含有根號的式子稱為根式

根式的運算具有以下性質

設a大於等於0

且b大於等於0

則根號a乘以根號b等於根號ab

根號a分之根號b等於根號a分之b

a不等於0

例如 根號2乘以根號3等於根號6

根號5分之根號15等於根號5分之15

等於根號3

a為任意實數

則根號a的平方等於a的絕對值

例如 根號3的平方等於3的絕對值

根號括號-3的平方等於-3的絕對值

接著我們來思考

如何將根號2分之3化為最簡根式

首先根號2分之3可以先寫成

根號2分之根號3

接著因為分母不能有根號

所以我們先將分子分母同乘根號2

得到根號2乘以根號2分之根號3乘以根號2

此時分母可合併為2

分子合併為根號6

故可得最簡根式為2分之根號6

一般而言

我們會將根式的分母化成正整數

這個過程稱為有理化分母

我們再以一個例子來說明

化簡根號3減根號2分之1等於多少

根號3減根號2分之1等於

括號根號3減根號2

乘以括號根號3加根號2

分之1乘以括號根號3加根號2

等於根號3的平方減根號2的平方

分之根號3加根號2

等於根號3加根號2

這裡我們要讓分母變成正整數

該如何處理

可利用平方差公式

將分子分母同乘以根號3加根號2

此時分母就變成根號3的平方減根號2的平方

等於1

所以就可將式子化簡為根號3加根號2

接下來我們做一些小測驗練習一下

最後我們將前面所學做個總結

可以試著將各自平方後再比較大小

有了這個概念

對我們接下來要學的雙重根式化簡

將會有很大的幫助喔