何謂雙重根式

在數學用語指的是根號內又帶根號的算式

形如根號5±2根號6

根號11減根號72的根式

就稱為雙重根式

這種根式看起來有點複雜

要如何化簡呢

所謂雙重根式的化簡

就是要我們把這種帶兩個根號的算式

化簡成只剩下一個

也就是說必須想辦法去掉最外面的大根號

那該如何做呢

根號5±2根號6以為例

我們的想法

就是將大根號裡面的東西

變成一個完全平方式

這樣平方就可以跟外面的大根號對消

達到根式化簡的目的

但是大根號裡面的東西

應該是什麼式子的平方呢

我們可以從以下例子思考

例題一

例二

由上面二個例子我們可發現

只要本來是括號根號a±根號b的平方的型態

其中a b均為正數

最終都可以展開成

括號a加b±2根號ab的形式

接著我們令p等於a加b

q等於ab

就可以得到括號根號a±根號b的平方

等於p±2根號q

有了這樣的概念

我們試著逆向思考步驟如下

根號p±2根號q

可化成 根號括號根號a±根號b的平方

再化簡成 根號a±根號b

也就是說若我們能將大根號裡面的

p±2根號q

轉換成括號根號a±根號b的平方的型態

此時裡面的平方就可以和外面的大根號對消

得到根號a±根號b

達到根式化簡的目的

藉由剛剛的推想

現在我們可以試著推導

如何將雙重根式根號p±2根號q

化簡成根號a±根號b的形式

並觀察出相關的性質

我們將以下面例子來說明

思考如何將5加2根號6再開根號

做雙重根式的化簡

首先透過之前的概念我們可以知道

我們的目標就是要將裡面的

5加2根號6

把它化簡成右邊的

根號a加根號b括號平方型態

只是如何找出滿足此條件的a跟b呢

我們先將右邊的根號a加根號b括號的平方

先把它展開來可以得到

它會等於根號a括號的平方

加上根號b括號的平方

再加上2乘上根號a乘根號b

也就會等於

a加b再加上2根號ab

接著我們來開始思考

右邊紅色框框的a加b再加上2根號ab

跟左邊這裡的5加2根號6

它們是一樣的

所以我們不難看出

此時的a加b會是多少

a加b會等於5

a乘b它會等於6

接下來我們要找出滿足此條件的a跟b

若是整數的a b

它會是多少呢

記得可以從乘的這裡下手

也就是說我們可以知道

這裡如果a是3 b會等於2

那麼就會滿足上面的a加b會等於5

所以我們不難找出這裡的

a會等於3 b會等於2

當然在這邊我們也可以想說

a等於2 b等於3

那沒有關係的

只是我們習慣上會將a找大的

a是3 b會是2

好 所以呢透過這樣一個概念

我們就可以得到左邊這裡的

根號5加2根號6

它可以化簡成

根號3再加上根號2括號的平方

也就會等於根號3再加上根號2

接下來我們把剛剛分析的結果做簡單地歸納和延伸

對於一個形如

根號p加2根號q的雙重根式

只要能進一步轉換成根號a加根號b的形式

就完成雙重根式的化簡

此時滿足a加b等於p

ab等於q

同理若將根號p加2根號q裡面的+改成-號

根號p減2根號q

就能化簡成

根號a減根號b的絕對值的形式

此處會掛上絕對值的原因

是因為根號a減根號b可能是負值

但大根號裡面的數字必需大於或等於0

所以我們需將根號a減根號b外面加上絕對值

當然若我們做適當處理

讓a大於等於b大於等於0

此時的絕對值符號就可以拿掉喔

接下來我們做些小測驗練習一下

最後我們將前面所學做個總結

答案是可以的

但是我們該如何處理呢

其實只要先將此處的6根號2

轉換成2根號18

一樣可以處理喔

請同學好好思考一下

後面再用相同思考邏輯

還是能夠推導出來呢

但是並非所有雙重根式都能夠化簡

比如根號5±32根號2就無法

同學們可以思考一下喔

同學都學會了嗎

處理雙重根號的化簡

若我們掌握下面兩個小技巧

根號二數相加±2倍根號二數相乘

數字大的寫在前面

就會變得很好計算呢