當我們能理解的數系從自然數擴充到了實數後

我們可以將實數系的所有元素進行大小排序

由左至右數字逐漸變大

進而能將所有的實數對應到數線上的所有點

一個實數本質上是一個概念的代數表現

然後在數線上的點

則為這個實數的幾何畫面

抽象的數學概念一旦有了幾何畫面

則便於我們觀察

進而從中理解代數上的性質與意義

將一個數字分別用線段圍在數字的兩側

我們將此表示方法稱為該數字的絕對值

例如3的絕對值表示為

-5的絕對值表示為

一個實數x的絕對值表示為

國中時我們就已經學過了絕對值的概念

3的絕對值等於3

-3的絕對值也等於3

0的絕對值等於0

一般人對於絕對值的刻板印象就是

（1）絕對值一定不是負數

（2）絕對值就是不看正負號只看數字而已

事實上絕對值具備獨特的幾何意義

實數x的絕對值

表示在數線上x與原點 0之間的距離

例如3的絕對值表示在數線上3與 0的距離

其距離為3

所以3的絕對值等於3

-3的絕對值表示在數線上

-3與0的距離

其距離為3 所以-3的絕對值等於3

在考慮3的絕對值時

因為是3到0的距離就是自己本身

因此3的絕對值的值

可以直接忽略絕對值的符號

在考慮-3的絕對值時

為了表示-3與0的距離

我們也可以將-3的絕對值

看成負括號-3

多加上一個負號是為了將原本的負號給抵銷掉

以便成為數線上到0的距離

因此關於x的絕對值

若x大於0

則x的絕對值等於x

等同可以直接取消絕對值符號

若x小於0

則x的絕對值等於-x

特別的當x等於0時

0的絕對值等於0

因此x的絕對值

可以區分為兩種情形

當x大於等於0時 x的絕對值等於x

當x小於0時 x的絕對值等於-x

因此絕對值在代數上可表示為

x的絕對值等於x 當x大於等於0

x的絕對值也等於-x 當x小於0

這表示當我們能夠清楚分辨

絕對值內的數字的正負號時

那麼絕對值的符號就可以省略

在理解了絕對值的意義之後

對於x的絕對值等於5

我們可以怎麼解讀這個代數式呢

x的絕對值等於5的幾何意義表示

x在數線上到原點的距離為5

由此可知x的可能性共有兩種

位於0的左右兩側

分別為5與-5

對於x的絕對值等於-5

在代數上我們知道絕對值一定不是負數

在幾何上我們也知道數線上

不可能有一個點到原點的距離為-5

因此不會有實數x滿足x的絕對值等於-5

現在我們對於絕對值的概念應該很清楚了

接下來我們透過幾個例子來說明

絕對值在距離上的特性

考慮5減2的絕對值等於3的絕對值

等於3等於5減2

我們可以把3視為在數線上5與2的距離

同樣的2減5的絕對值等於-3的絕對值

等於3等於5減2

我們也可以把它視為在數線上2與5的距離

因此不論是5減2的絕對值

或2減5的絕對值

皆可解釋為數線上2與5兩點的距離

考慮5加2的絕對值等於

5減括號-2的絕對值

等於7

我們亦可以把7視為在數線上5與-2的距離

由這個例子可知

當我們把絕對值內部表示為兩個實數相減時

其絕對值即可視為這兩個實數

在數線上的兩點距離

意即a減b的絕對值

等於數線上a與b之間的距離

特別的5的絕對值可以視為

5減0的絕對值

即是數線上5與0的距離

這與絕對值的幾何意義不謀而合

以下用幾個例子來確認我們對絕對值的概念是否清楚

在商品的包裝上

都會標示其標準重量

但由於有誤差存在的可能

有些重量離標準值會有些許的誤差

因此我們可以預期

該商品重量的最大與最小可能值

例如一塊鳳梨酥標準的重量為50公克

製作的過程可以允許誤差5公克

若x為可能最大或最小的重量

則x必然滿足x減50的絕對值等於5

在幾何上可解釋為在數線上

x與標準重量50的距離為5

因此x的值共有兩種

分別為45與55

那麼讓我們來回顧一下這個單元學到的重要概念

x的絕對值表示在數線上x到原點的距離

x減y的絕對值表示在數線上x與y的距離

x加y的絕對值等於x減括號-y的絕對值

表示在數線上x與-y的距離

在數線上與a的距離為b的數

可用代數式x減a的絕對值等於b來表示

同學們都學會了嗎