回家的路上會經過一條筆直的快速道路

聽說最近在A交流道標記30公里處

和B交流道標記80公里處之間

設置了一個測速照相機

而且位置在A點出發後

完成A到B路程百分之70地方

那麼這一台測速照相機的位置

應該在標記多少公里處呢

如果我們將道路看成實數線

那麼我們要討論的問題就是

給定數線上兩點A與B

令P為A與B之間的點

我們將P稱為A與B的內分點

如果線段長度比例 AP比PB等於m比n

那要如何透過A與B的坐標來求得P點的坐標

對於我們要討論的問題

接下來我們先用實際的例子來說明

在數線上令A的坐標為4

B的坐標為20

P的坐標為x

我們依序考慮接下來的問題

如果P為A與B的內分點

滿足線段長 AP比PB等於5比3

因為4小於x小於20

可得一次方程式

從中解出x等於14即為P點的坐標

讓我們來考慮一般的情形

在數線上令A的坐標為a

B的坐標為b

P的坐標為x

如果為P為A與B的內分點

滿足線段長 AP比PB等於m比n

因為 a小於x小於b

可得一次方程式

即為P點的坐標

國中我們學過等差數列

對於分點公式的問題

我們也可以利用等差數列的觀點來分析

在數線上令A的坐標為4

B的坐標為20

P的坐標為x

如果為P為A與B的內分點

滿足線段長 AP比PB等於5比3

這表示A與B之間被均分成

括號5加3等於8 8等分

然而P點的位置則是第5等分點的位置

因為每一等分長度為 8分之20減4等於2

將此設定為公差

因此4到20之間可以設計出等差數列

4 6 8 10 12 14 16 18 20

其中第5等分點的坐標即為14

由此可知內分點P的坐標為x 即為14

讓我們考慮一般的情形

在數線上令A的坐標為a

B的坐標為b

P的坐標為x

其中a小於x小於b

如果P為A與B的內分點

滿足線段長 AP比PB等於m比n

表示A與B之間被均分成m加n等分

然而P點的位置則是第m等分點的位置

因為每一等分長度為

m加n分之b減a

將此設定為公差

其中第m等分點的坐標即為a再增加m個公差

m加n分之b減a

由此可知內分點P的坐標為x即為

m加n分之na加mb

我們也可以得到一樣的結論

算算看以下的例子

來確認我們是不是了解分點公式的概念了

AB被分為3等分

所以P點座標等於

3分之2乘以-6加1乘以24

算出P點座標等於4

有一槓桿左端點坐標為a

右端點坐標為b

如果左端點有法碼重2單位

右端點有法碼重3單位

那該槓桿的支點坐標該設計在哪裡

方能使得此槓桿達平衡狀態呢

因為左右兩端點的重量比為2比3

所以根據槓桿原理

如果要使得此槓桿達平衡狀態

則左右兩端的力臂長比例必為3比2

根據分點公式即可得知

支點的坐標應為 5分之2乘以a加3乘以b

最後讓我們來回顧一下分點公式的概念和內容