我們知道絕對值在幾何上具有距離的概念 然而現實生活中有關直線上的距離問題 我們都可以試著用絕對值的方式來表達 令A B為數線上兩點 其坐標分別為5 10 如果今天電信公司想在數線上另一點P 分別建立P到A 以及P到B的電纜線 因為用料的不同 P到A B的電纜線成本不同 其中P到A的電纜線每單位長成本為2萬元 P到B的電纜線每單位長成本為3萬元 若P在數線上的坐標為x 則可知P到A B的長度分為 x減5的絕對值與x減10的絕對值 所以建立電纜線的總成本就是 2乘以x減5的絕對值 加3乘以x減10的絕對值 已知這次建立電纜線的總成本為30萬元 則我們可得一個絕對值方程式為 2乘以x減5的絕對值 加3乘以x減10的絕對值 等於30 那麼該如何求出滿足方程式的x的值 從中得知P點的坐標呢 為了回答有關絕對值方程式的問題 我們先複習有關絕對值在代數以及幾何上的性質 對於單一一個絕對值 在代數上我們可以根據x的範圍進行分類 將絕對值符號捨去 例如 x的絕對值 當x大於等於0時 等於x 當x小於0時 等於-x x減5的絕對值 當x大於等於5時 等於x減5 當x小於5時 等於5減x 至於在幾何上 則可視為數線上兩點的距離 例如x減5的絕對值 即表示數線上x與5的距離 我們來看看絕對值方程式 x減5的絕對值等於3 從代數的觀點可知 x減5的絕對值 當x大於等於5時 等於x減5 當x小於5時 等於5減x 因此我們分段討論 當x大於等於5時 方程式即為x減5等於3 可得x等於8 當x小於5時 方程式即為5減x等於3 可得x等於2 因此方程式x減5的絕對值 等於3的解為 x等於8與x等於2 從幾何的觀點來看 x減5的絕對值等於3 表示數線上x與5的距離為3 因此x即為5在數線上左右各3個單位 所以x等於5加減3 故x等於8與x等於2 若方程式裡具有多個絕對值 例如 x加3的絕對值 加x減2的絕對值等於9 該怎麼求得此方程式的解呢 讓我們先從代數的觀點來分析這個方程式 由於方程式中有兩個絕對值 因此若要捨去絕對值的符號 就必須討論兩個絕對值內的正負號 其中 -3 與 2 即為需要分段討論的點 此時就必須將x的範圍分成三段來討論 分別為x小於-3 -3小於等於x小於2 與 2小於等於x 當x小於-3時 由於兩個絕對值的內部皆為負數 因此捨去絕對值符號之後方程式可化簡為 括號-x減3加括號2減x等於9 可得2x等於-10 即x等於-5 當-3小於等於x小於2時 由於x加3大於等於0 且x減2小於0 因此捨去絕對值符號之後方程式可化簡為 括號x加3加括號2減x等於9 可得5等於9 為一個矛盾的式子 故在這個範圍內沒有實數能滿足方程式 所以方程式無解 當2小於等於x時 由於兩個絕對值的內部皆大於等於0 因此捨去絕對值符號之後方程式可化簡為 括號x加3加括號x減2等於9 可得2x等於8 即x等於4 綜合上述的討論我們可知方程式的解為 x等於-5 與 x等於4 此外我們也可以從幾何的觀點來探討方程式 x加3的絕對值加x減2的絕對值 等於9的意義 可視為在數線上找一點x 使x分別到-3與到2的距離總和為9 由於-3跟2將整條數線分成三段 我們可依序討論 當-3小於等於x 小於等於2時 x到-3與到2的距離總和恆等於5 不可能等於9 因此在這個區段內方程式無解 當x大於2時 x到-3的距離為紅色的長 x到2的距離為藍色的長 由於兩段長度總和等於9 可知藍色的長度必為 2分之9減5等於2 因為x大於2 所以可得x等於2加2等於4 當x小於-3時 x到-3的距離為紅色的長 x到2的距離為藍色的長 由於兩段長度總和等於9 可知紅色的長度必為 2分之9減5等於2 因為x小於-3 所以可得x等於-3減2等於-5 由上述討論可知方程式的解為 x等於-5 與 x等於4 讓我們回來看一開始的情境問題 已知建立電纜線的總成本可用絕對值表示為 2乘以x減5的絕對值 加3乘以x減10的絕對值 那P點的座標等於多少時 總成本剛好為30萬呢 我們考慮絕對值方程式 2乘以x減5的絕對值 加3乘以x減10的絕對值 等於30 將數線以5 10區分為三段 分別為 x小於5 5小於等於x小於10 與10小於等於x 當 x小於5時 絕對值方程式可化簡為 2乘以括號5減x加3乘以括號10減x 等於30 可得5x等於10 即x等於2 當5小於等於x小於10時 由於x減5大於等於0 且x減10小於0 因此絕對值方程式可化簡為 2乘以括號x減5加3乘以括號10減x 等於30 可得x等於-10 並不在預設的範圍內 故在這個範圍內沒有實數能滿足方程式 所以方程式為無解 當10小於等於x時 由於兩個絕對值的內部皆大於等於0 因此絕對值方程式可化簡為 2乘以括號x減5加3乘以括號x減10 等於30 可得 5x等於70 即x等於14 綜合上述的討論我們可知方程式的解為 x等於2 與 x等於14 有關方程式中有絕對值得部分 通常會透過分段討論 將絕對值的符號捨去之後進行求解 有時候我們也可以透過距離的觀點來看分析方程式 透過觀察也能從中解出方程式的解 對於ax加b的絕對值等於c的絕對值方程式 可代數求解 也可透過幾何來分析 對於ax加b的絕對值 加cx加d的絕對值等於e的絕對值方程式 可分段討論求出方程式的解 對於具有更多個絕對值的方程式 同學們都有把握 可以按部就班的求出方程式的解嗎 那麼有關x-1的絕對值 加x-2的絕對值 加x-3的絕對值 等於12 同學可以知道他的解為何呢 仔細思考一下 你覺得用代數還是用幾何觀點 哪個比較容易呢