餅乾的包裝上

常常印有包裝容量標誌

某種餅乾包裝上面寫著重量120正負5公克

我們可以知道餅乾裝袋時

雖然公司會有制訂一個重量作為標準

但包裝時不可能每次都這麼精確

總是會有點誤差

所以包裝上重量的顯示

代表著即使有誤差

也是有一個限度

譬如120正負5公克中的120

就是設定好的標準值

而正負5就是代表誤差範圍

因此我們知道生產這種餅乾時

在包裝的時候

一包餅乾的重量若為 x

則 115小於等於x小於等於125

代表重量的範圍

然而這樣一個具有標準值

包含有誤差限制的量

我們可以用絕對值的概念來表示為

x減120的絕對值小於等於5

代表重量x與標準值120的距離不超過5

像這樣一個包含絕對值的不等式

就是我們這一次學習的重點

讓我們先來觀察

x的絕對值大於等於2 這個不等式

若以代數方法我們可以分段討論將絕對值捨去

當 x大於等於0時

不等式即為 x大於等於2

當 x小於0時

不等式即為 -x大於等於2

移項後可得 x小於等於-2

因此不等式 x的絕對值大於等於2 的解

即為 x大於等於2 或 x小於等於-2

以幾何的觀點來看

因為x的絕對值表示在數線上與0的距離

所以不等式 x的絕對值大於等於2

可以解釋為在數線上與0的距離大於等於2

由此即可知不等式的解為

x大於等於2 或 x小於等於-2

若考慮不等式 x減2的絕對值小於3

則我們一樣可以透過代數跟幾何的觀點來求得不等式的解

若以代數的方法

我們可以分段討論將絕對值捨去

當 x大於等於2時

不等式即為 x減2小於3

化簡後得 x小於5

所以符合條件的範圍為

2小於等於x小於5

當 x小於2時

不等式即為 2減x小於3

移項後可得 x大於-1

所以符合條件的範圍為

-1小於x小於2

整合兩段的範圍

因此不等式 x減2的絕對值小於3的解即為

-1小於x小於5

以幾何的觀點來看

因為 x減2的絕對值表示在數線上與2的距離

所以不等式 x減2的絕對值小於3

可以解釋為在數線上與2的距離小於3

將2在數線上左右各移動3個單位

由此即可知不等式的解為 -1小於x小於5

如果今天不等式中有兩個絕對值呢

這樣的不等式是不是比較困難呢

其實我們依然可以利用代數跟幾何的觀點

來求得不等式的解

讓我們來看看

x加3的絕對值 加上 x減2的絕對值大於9

這個不等式

若以代數方法我們可以分段討論將絕對值捨去

當 x大於等於2時

不等式即為 括號x加3 加 括號x減2大於9

化簡後得 x大於4

所以符合條件的範圍即為 x大於4

當 -3小於等於x小於2時

不等式即為 括號x加3 加 括號2減x大於9

化簡後得 5大於9為一個矛盾的式子

因此在這個範圍內不等式無解

當 x小於-3時

不等式即為 括號-x減3 加 括號2減x大於9

化簡後得 x小於-5

所以符合條件的範圍即為 x小於-5

整合三段範圍討論的結果

因此不等式的解即為

x小於-5 或 x大於4

我們也可以試著用幾何的觀點來分析

x加3的絕對值 加 x減2的絕對值大於9

這表示在數線上x分別到

-3與2的距離總和要大於9

那麼我們可以先尋找距離總和等於9的位置

由於-3到2的距離為5

所以只要在-3向左移動2單位

或2向右移動2單位

即可知距離總和的位置為-5與4

從畫面上即可得知

x加3的絕對值 加 x減2的絕對值大於9的解

即為 x小於-5 或 x大於4

那麼對於 x加2的絕對值大於等於x減4的絕對值

這個不等式

同學你會選擇用代數分段討論

還是你會使用幾何觀點來求不等式的解呢

這裡我們由幾何觀點可知在數線上

x到-2的距離大於等於x到4的距離

然而-2與4的中點1

恰好與兩者的距離相等

從數線上的畫面可知

不等式的解即為 1小於等於x

同學你也可以利用代數分段討論

看看能不能得到一樣的結論喔