在我們學習了絕對值的概念之後

有關絕對值的方程式與不等式問題

其型態有許多類型

大多是利用代數分段討論

或是透過幾何觀點來分析

以下我們將利用常見的問題

來說明如何活用絕對值的概念進行解析

假設一個絕對值不等式

ax加1的絕對值小於等於b

已知不等式的解為

-1小於等於x小於等於5

那麼原題目中的係數

a與b的值為何呢

因為ax加1的絕對值小於等於b

可知a不等於0 且b不為負數

所以可得ax加1

介於b與-b之間

將不等式同時減1時

可得-b減1小於等於ax小於等於b減1

此時我們想要同時除以a

但a究竟是正數還是負數呢

此時我們就需要分類討論

若a大於0

則不等式的解即為

a分之-b減1小於等於x小於等於a分之b減1

可知a分之-b減1等於-1

a分之b減1等於5

等同於-b減1等於-a

b減1等於5a

故a等於2分之-1

b等於2分之-3

與a大於0矛盾

若a小於0同除以a之後

兩側的不等式皆要變號

則不等式的解即為

a分之-b減1大於等於x大於等於a分之b減1

可知a分之-b減1等於5

a分之b減1等於-1

等同於-b減1等於5a

b減1等於-a

故a等於2分之-1

b等於2分之3

綜合以上討論可知原不等式的係數

a等於2分之-1

b等於2分之3

這裡我們介紹另一種觀點來回答這個問題

由於不等式

ax加1的絕對值小於等於b的解為

-1小於等於x小於等於5

我們可以先考慮平移

使得不等號的左右兩側數值為相反數

因為在數線上-1與5的中點為2

因此同時向左平移2個單位

可得-1減2小於等於x減2小於等於5減2

故-3小於等於x減2小於等於3

再對照原不等式

我們將式子同乘2分之-1

即為 2分之-3小於等於

2分之-1x加1小於等於2分之3

這麼做是為了將答案還原成絕對值不等式

因此可得原式為

2分之-1x加1的絕對值小於等於2分之3

由此可知係數a等於2分之-1

b等於2分之3

若方程式x減2的絕對值加x減5的絕對值等於k

有實數解

則實數k的範圍為何

我們可以分段討論同時透過幾何概念來分析

x減2的絕對值加x減5的絕對值的值

當x大於等於5時

原式可表示為

括號x減2加括號x減5等於

2x減7大於等於10減7等於3

在幾何上可解釋為

x到2的距離與到5的距離總和等同於

3加2乘以括號x減5大於等於3

當2小於等於x小於等於5時

原式可表示為

括號x減2加括號5減x等於3

在幾何上x到2的距離與到5的距離總和必定等於3

當x小於2

原式可表示為

括號2減x加括號5減x等於7減2x大於3

在幾何上x到2的距離與到5的距離總和等同於

3加2乘以括號2減x大於3

由以上討論可知

x減2的絕對值加x減5的絕對值的值大於等於3

也就是說當x介於2到5之間時

x減2的絕對值加x減5的絕對值

有最小值等於3

因此對於方程式

x減2的絕對值加x減5的絕對值等於k

只要k大於等於3

則方程式必存在實數解

同學們深入思考這樣的問題

推廣之後你們可以得到什麼樣的結論呢