古印度有一個國王很喜歡下象棋

於是想獎賞象棋的發明者

他召喚這位發明者來

問他要什麼

不論要什麼金銀財寶都必給他

這位發明者說

請賜我糧食

要多少呢

就是在64格的棋盤上放米

第一格放一粒

第二格兩粒

第三格放2乘以2也就是4粒

第四格放2乘2乘2也就是8粒

以此類推

聰明的你

請問他最後拿到多少糧食呢

要回答這個問題

我們必須先來了解什麼是指數

正整數指數的定義如下

a自乘n次簡記作a的n次方

讀作

a的n次方

以剛剛的數米問題為例

2的一次方等於2

2的兩次方等於2乘以2等於4

2的3次方等於2乘以2乘以2等於8

上述的規則可以歸納成

2的格數減一等於要放的米粒數

因此2的0次方等於1

其實指數在生活中的應用很廣泛

比如我們存一筆錢在銀行

就會遇到利率問題

如果存100萬元

年利率為百分之3

複利計息

而複利的規則是前一期的本利和當成下一期的本金

那一年後會拿到

100乘以括號1加0.03等於103萬

兩年後是

100乘以括號1加0.03乘以括號1加0.03

等於100乘以1.03的平方

等於106.1萬

十年後

100乘以1.03的10次方

等於134.4萬

四十年後

等於100乘以1.03的40次方

等於326.2萬

整整多了兩倍以上

複利的較果是不是很驚人呢

只是小小的1.03

以指數成長之後就會得到這麼大的數字

學習也像這樣 每天進步百分之一

一個禮拜後變成

1.01的7次方等於1.072

看起來沒什麼

但一個月後變成

1.01的30次方等於1.348

一年後變成

1.01的365次方等於37.78

但若不學習

每天退步百分之一

一週後變

0.99的7次方等於0.932

一個月後變

0.99的30次方等於0.740

一年後變

0.99的365次方等於0.026

只是進步或退步百分之一

一年後就是37.78和0.026的差別

是不是很多呢

這就是指數的威力

而學習的決定權在你手中

回到一開始的問題

象棋發明者最後到底得到多少糧食呢

讓我們用剛學到的指數計算一下

棋盤一共有64格

第一格放一粒

第二格兩粒

第三格放2的平方等於4粒

以此類推

第n格放2的n-1次方粒

把每一格的米加起來

就是他最後拿到米的數量

假設這個數字是S

S等於1加2的1次方加2的2次方

加2的3次方一直加到2的63次方

如果把每一項都乘以2

可以得到下面的式子

2S等於2的1次方加2的平方

加2的3次方加加加一直加到

2的63次方加2的64次方

如果把2式減去1式

2的1次方2的平方

一直到

2的63次方

都被消去

只剩下1和2的64次方

因此可以得到

S等於2S減S等於2的64次方減1

等於18446744073709551615

一共是1.845乘以10的19次方粒米

一粒米0.0715公克

一億粒米是7.15公噸

1.845乘以10的19次方粒米是

1.32乘以10的12次方公噸

夠2300萬台灣人吃125萬年

恐怕國王將全國所有的財富都拿來買米

也不夠給他了

真不能小看指數的威力

在這單元裡 我們介紹了正整數指數的定義

實數a自乘n次

n是正整數

a的n次方稱為指數式

其中a稱為底數

n稱為指數

並且見識了指數的威力

大家都學會了嗎

下一單元我們將學習指數的一些基本運算