在上支影片我們提到銀行複利

看到指數的威力

小小的複利計息

可以讓存款有很大的增長

但是存錢在銀行

我們會遇到一些常見的問題

比如說如果銀行的年利率改變

最後拿到的本金加利息會是多少

如果不是1年而是1季複利一次

那麼5年後會有多少錢

要學會如何計算這些問題

讓我們先來複習一些國中學過的指數律

以下是常用的三個正整數指數律

a的m次方乘以a的n次方等於多少

a的m次方是m個a相乘

a的n次方是n個a相乘

因此a的m次方乘以a的n次方

就是m加n個a相乘

也就是a的m加n次方

那如果a的m次方的n次方呢

如果把a的m次方定義成一個數b

b的n次方就是 n個b相乘

也就是n個a的m次方相乘

因為a的m次方等於m個a相乘

所以總共會是m乘n個a相乘

可以寫成a的m乘n次方

最後 a乘b的m次方會是多少呢

我們一樣可以先把a乘b看成一個數c

c的m次方就是m個c相乘

也就是m個 a乘b 相乘

因為乘法滿足交換律

我們可以把m個a次方和m個b次方先各自乘起來

再把分別得到的結果相乘

因此最後得到a乘b的m次方

等於a的m次方乘以b的m次方

好了學會這些指數律之後

我們就可以來看看一開始提到的

銀行複利問題要怎麼計算了

假設我在銀行A存了1萬

以年利率百分之2 複利計息

3年後朋友急需用錢我先把全部的錢

也就是本金加利息領出來借他

等到朋友還清後

我再把所有錢存回銀行A

又存了5年

請問最後我拿到的本金加利息會是多少呢

假設 a等於括號1加年利率

存了三年

得到 1乘以a乘以a乘以a等於a的三次方萬元

之後再用本金a的三次方萬元存五年

因為 a乘a乘a乘a乘a等於a的五次方

所以本金加利息是

括號 a乘a乘a 乘以括號 a乘a乘a乘a乘a

等於a的三次方乘以a的五次方

等於a的八次方

這其實很好理解

雖然我分兩次存

但結果跟一次存8年都沒領出來是一樣的

上述問題就是指數律a的m次方乘以a的n次方

等於a的m加n次方的應用

那如果我把1萬元存在銀行A整整三年

之後把本金加利息從銀行A領出來

改存到另一間銀行B

同樣也存了三年

請問我最後可以得到多少錢呢

這是一個 a的m次方乘以b的m次方的問題

假設 a等於括號1加銀行A的年利率

b 等於括號1加銀行B的年利率

在銀行A存三年得到本金加利息共

1乘以a乘以a乘以a 等於a的三次方萬元

改存到銀行B又經過三年

最後得到 括號a乘以a乘以a

乘以括號b乘以b乘以b

等於a的三次方乘以b的三次方

也就等於括號a乘以b 乘以括號a乘以b

乘以括號a乘以b

等於括號a乘以b的三次方萬元

這相當於將1萬元存入某家銀行

以a乘以b減1為利率存了三年

上述問題就是指數律

a乘以b的m次方等於

a的m次方乘以b的m次方的應用

那如果銀行不是一年複利一次

而是一季複利一次

一樣存1萬元到銀行

請問經過五年之後會得到多少錢呢

這是一個a的m次方的n次方的問題

假設 括號1加季利率 等於a

一年有四季每季都複利一次

所以一年後可拿到1乘以a的四次方萬元

二年後共8季則是

1乘以a的四次方乘以a的四次方

等於a的八次方萬元

以此類推五年後共20季

會得到 1乘以a的四次方乘以a的四次方

乘以a的四次方 乘以a的四次方 乘以a的四次方

等於a的四次方的五次方

等於a的二十次方萬元

上述問題就是指數律

a的m次方的n次方等於a的m乘n次方的應用

最後讓我們來回顧這個章節學到的概念

前面我們提到的

a的m次方乘以a的n次方

等於a的m加n次方

那如果相除呢

設a不等於0

a的m次方除以a的n次方會是多少呢

舉例來說

假設m等於5 n等於3

分子的5個a其中三個會跟分母的3個a對消

因此最後得到5減3 等於兩個a

由於分子分母一樣的項會互相抵銷

所以最後可以得到a的m次方除以a的n次方

等於a的m減n次方

不過這裡面其實隱含了一個問題

到目前為止我們的指數運算

都限於指數是正整數的情況

當計算a的m次方除以a的n次方時

如果m大於n時沒有問題

m 減 n仍是正數

但如果m小於n呢

指數項 m減 n 就變成負的

而不再是正整數了

那負指數代表什麼意義

又可以如何應用呢

我們將在下一支影片介紹