前面的影片我們已經知道指數的威力

而一個自然界中也有許多應用指數的常見例子

比如細菌的繁殖就是一個經典案例

一般細菌每20到30分鐘就分裂一次

也就是數量變為兩倍

想想看如果食物上有一隻細菌

每20分鐘變成原本的2倍

那一小時後會變成多少呢

2乘以2乘以2等於2的3次方

也就是8隻

2小時後變成2的6次方也就是64隻

8小時後變成2的3次方的8次方

也就是2的24次方 超過167萬隻

10小時候就可以超過10億

這也難怪食物放在室溫下這麼快就不能吃了

上面的例子是選定一個時間

在知道當時的細菌總數後

去計算一段時間後的細菌數量

假設細菌平均1天分裂一次

如果我們選定一個時間點觀察

此時細菌數量是1萬個

過一天之後變成2的1次方等於2萬個

兩天後變成2的2次方等於4萬個

三天後變成2的3次方等於8萬個

那有沒有想過如果倒回去算呢

有沒有辦法知道觀察點前1 2 3天的細菌數量呢

觀察前一天

細菌數量應該是觀察時的2分之1

前兩天又變為觀察前一天的2分之1

也就是1乘以2分之1乘以2分之1

等於2分之1的平方

等於4分之1萬

前三天又變為前兩天的2分之1

也就是1乘以2分之1 乘以2分之1 乘以2分之1

等於2分之1的3次方

等於8分之1萬

以此類推觀察前 n 天的細菌數量

就是 2分之1 的 n 次方

用指數該如何表示呢

我們知道觀察後1 2 3天的細菌數

表示為2的1次方

2的2次方

2的3次方

並將開始觀察那一天的細菌數1萬個

視為2的0次方萬個

以此類推

觀察前三天細菌數2分之1

4分之1

8分之1

可以用指數 2的-1次方

2的-2次方

2的-3次方萬個來表示

因此 a的n次方分之1的指數表示形式

似乎可以寫成 a的-n次方

但是這樣合理嗎

記得在上一的單元我們學到

設a不等於0

a的m次方除以a的n次方

且m大於n

由於分子分母一樣的項會互相抵銷

所以最後可以得到a的m次方除以a的n次方

等於a的m減n次方

以此規律

那麼當m等於n且a不等於0時

a的m次方除以a的n次方

等於a的m減n次方

等於a的0次方 等於1

因此a的0次方等於1 相當合理

同樣的道理假設m等於0

a的0次方除以a的n次方

等於a的0減n次方

等於a的-n次方

等於a的n次方分之1

因此a的-n次方等於a的n次方分之1

相當合理

這裡要特別強調一個重點

就是底數a 不能等於0

因為0除以0沒有意義

這麼一來

除了先前學過的正整數指數之外

我們也定義了0指數和負整數指數

可以整理成下面三個重點

設 a為實數 a不等於0 n為正整數則定義

正整數指數 a的n次方

等於a乘以a乘以a乘以n次

零指數

a的0次方等於1

負整數指數

a的-n次方等於an次方分之1

讓我們再回到最初的細菌分裂問題

所以在觀察點前後的細菌數量

可以列成這張表

了解了負指數的意義之後

我們可以結合之前在正整數的指數律學到的概念

來討論整數指數的指數律