延續上一支影片 我們知道細菌以二分裂法增加 每天增加一倍 如果我們在某一個時間點觀測 發現有一萬隻細菌 一天後變為2萬隻 兩天後變為4萬隻 以此類推 一天前則為二分之一萬隻 兩天前為四分之一萬隻 以此類推可以寫下這個表格 因此我們可以建立一個細菌生長模型 t 日後的細菌數量為目前細菌個數 乘以2的t次方萬隻 若目前細菌個數為1萬隻 之後我們每隔8小時 也就是三分之一日觀察一次 依循這個細菌生長模型 觀察後三分之一 三分之二日的細菌數量 似乎可以用2的三分之一次方 2的三分之二次方萬隻來表示 觀察前三分之一 三分之二日的細菌數量 則可表示為2的負三分之一次方 跟2的負三分之二次方萬隻 之前我們看到的指數都是整數 如果指數是分數 比如2的三分之一次方 到底代表什麼意義呢 回顧我們之前學過的指數律 a的m次方的n次方 等於a的m乘以n次方 2的三分之一次方的三次方就等於2 2的三分之一次方的三次方 等於2的三分之一乘以三次方 等於2的一次方 等於2 因此2的三分之一代表一個正數 它的三次方等於2 同理 2的三分之二次方的三次方 等於2的三分之二乘三次方 等於2的平方 2的三分之二次方的三次方 就等於2的平方等於4 因此2的三分之二次方代表一個正數 它的三次方等於2的平方等於4 根據上述的實例 如果我們要推廣指數到有理指數的情況 且希望有理數指數能夠滿足指數律 就必須有如下的定義 舉個例子 5的三分之二次方是多少呢 根據指數律 5的三分之二次方的三次方 等於5的三分之二乘三次方 等於5的平方 也就是說5的三分之二次方是一個正數 它的3次方等於5的平方等於25 根據上述的定義 當m等於1時且整數n大於等於2時 我們可以知道a的n分之一次方為一個正數 此正數的n次方等於a 而我們可以稱a的n分之一次方 為a的正n次方根 另外可以用符號n根號a來表示 其中n等於2時 2根號a等於根號a 例如 3的二分之一次方為3的正二次方根 即 3的二分之一次方等於根號3 2的三分之一次方為2的正三次方根 3根號2 來練習下面的題目 讓我們來想想一個應用問題 考古學家挖到一個古代遺址時 他要怎麼知道這些生物體的年代呢 生物體在活著的時候會因 呼吸 進食等不斷的從外界攝入碳14 最終體內碳十四與碳十二的比值會達到與環境一致 該比值基本不變 當生物體死亡時碳14的攝入停止 之後因遺體中碳十四的衰變 而使遺體中的碳14與碳12的比值發生變化 因此測定碳14與碳12的比值 就可以測定該生物的死亡年代 碳14的半衰期 也就是變成原本數量的一半所需的時間 是5730年 假設有一批生物體的化石中 碳14只有一開始環境濃度的四分之一 請問它是幾年前的化石 答案 假設這是 t 年前的化石 我們知道每過5730年 碳14濃度會變成原本的一半 經過 t 年後 碳14的濃度會變成原來剛開始碳14濃度的 二分之一的5730分之t次方倍 依題意 二分之一的5730分之一次方 等於四分之一 如此可算出5730分之 t 等於2 故 t 等於11460 因此這是約11460年前的生物體的化石 指數是不是很有趣呢 其實我們還可以再追問下去 目前我們的指數是有理數 一個遞增的數列與遞減的數列會夾出一個實數 這些都是很有趣的問題 有興趣的同學可以自行上網找答案喔