延續前幾個單元的影片

我們學會了整數和有理數指數的定義

接著在這個單元裡面要來看看

有理數的指數是否也符合指數律的運算規則呢

還記得整數指數律的規則如下

設底數a b是不等於0的實數

m n是整數

則a的m次方乘以a的n次方等於a的m加n次方

a的m次方的n次方等於a的mn次方

a的n次方乘b的n次方等於a乘b的n次方

如果不限制m n一定是整數

而是有理數的話

有理數指數是否會滿足指數律呢

我們用實際的數字來檢驗看看

首先驗證指數律

a的r次方乘以a的s次方等於a的r加s次方

左式4乘以8等於右式32

因此16的2分之1次方

乘上16的4分之3次方

等於16的4分之5次方

上述的例子符合

a的r次方乘上a的s次方等於a的r加s次方

這個指數律

接著驗證a的r次方的s次方等於a的rs次方

這個指數律

這次來計算看看

4的2分之3次方的3分之4次方

是否會等於4的2分之3乘以3分之4次方呢

4的2分之3次方等於

4的3次方的2分之1次方

等於2的6次方的2分之1次方

等於2的3次方

等於8

因此左式為8的4次方的3分之1次方

等於2的12次方的3分之1次方

等於2的4次方

等於16

接著算出等式的右邊為

4的2次方等於16

左式16等於右式16

因此4的2分之3次方的3分之4次方

等於4的2分之3乘以3分之4次方

上述的例子符合

a的r次方的s次方等於a的r乘以s次方

這個指數律

最後驗證a的r次方乘上b的r次方等於a乘b的r次方

這個指數律

這次用4的2分之1次方

乘以9的2分之1次方

來驗證看看是否會等於

4乘以9的2分之1次方

左式4的2分之1次方等於2

9的2分之1次方等於3

因此左式為2乘以3等於6

右式36的2分之1次方

就是6的2次方的2分之1次方

等於6

左式6等於右式6

因此4的2分之1次方

乘以9的2分之1次方

等於4乘以9的2分之1次方

上述的例子符合

a的r次方乘以b的r次方等於a乘以b的r次方

這個指數律

總結上面的討論

關於有理指數的指數律都可用類似的方法加以驗證

我們將有理數指數的指數律整理如下

設底數a b是大於0的實數

r s是有理數則

a的r次方乘以a的s次方等於a的r加s次方

a的r次方的s次方等於a的r乘以s次方

a的r次方乘上b的r次方等於a乘上b的r次方

接著想邀請大家來觀察看看

有理數指數律定義底數a b都要大於0

如果a b小於0在計算上會出現什麼情形呢

假設k等於-2的2分之1次方

則根據定義

k為x平方等於-2的正實數根

同學們可以暫停畫面思考看看

這樣的根是否存在呢

答案是不存在的

假設存在一個正實數k

滿足x平方等於-2

因為k>0 所以k平方為正數不會等於-2

因此我們找不到任何正實數k

滿足x平方等於-2

最後讓我們來看看一個生活中的例子

摩爾定律

摩爾定律是美國半導體公司Intel創辦人摩爾

提出的預測理論

他認為每個晶片上可容納的電晶體數目

會按照幾何級數的法則增長

每18個月會增加一倍

我們現在常用的智慧型手機

個人筆電等效能

都和單位面積的晶體數量有密切關聯

根據這個定律

每18個月電晶體密度會變為2倍

假設2015年1月的電晶體密度n0等於22.5

那根據摩爾定律2018年1月的電晶體密度會是多少呢

因為從2015年1月到2018年1月

總共經過了3年乘上12個月等於36個月

因為每18個月電晶體密度變為2倍

所以經過36個月電晶體密度

變為2的平方等於4倍

接著邀請大家思考看看

最後再來回顧這個章節的重點整理