前面的影片曾介紹有理數指數的意義

我們先來複習一下

例如2的5分之1次方是一個正數

且2的5分之1次方的5次方

等於2

2的5分之1次方用方根符號可表為

2的5分之1次方等於5次根號2

5的3分之2次方是一個正數

且5的3分之2次方的3次方

等於5的平方

5的3分之2次方用方根符號可表為

5的3分之2次方等於3次根號5的平方

5的4分之-3次方是一個正數

且5的4分之-3次方的4次方

等於5的-3次方

5的4分之-3次方用方根符號可表為

5的4分之-3次方等於4次根號5的-3次方

等於4次根號125分之1

有理數指數可以定義如下

設底數a為正數

n為大於1的正整數

m為整數

a的n分之m次方為一個正數

且a的n分之m次方的n次方

等於a的m次方

a的n分之m次方用方根符號可以表為

a的n分之m次方等於n次根號

a的m次方

我們已經介紹了整數與有理數指數的定義

例如 2的-2次方等於4分之1

2的0次方等於1

2的2分之1次方等於根號2等

指數可以推廣到無理數嗎

同學可以先用計算機來探索一下

在Google的網路計算機中依序輸入

x的y次方

根號

等於

可以得出3的根號2次方的近似值

4.72880438784

在Google的網路計算機中依序輸入

x的y次方

根號

等於

可以得出2的根號3次方的近似值

3.32199708548

我們按計算機可以得到3的根號2次方

與2的根號3次方的近似值

而這些數要如何定義呢

我們先來探討

3的根號2次方是如何定義的

因為指數根號2是無理數

利用十分逼近法

把根號2所在的範圍逐次縮小10倍

每次求得的近似值

小數就增多一位

因此1.4 1.41 1.414

1.4142 1.41421

這一系列的有理數會愈來愈接近根號2

另一方面我們用計算機分別求得有理數指數

3的1.4次方

3的1.41次方

3的1.414次方

3的1.4142次方

3的1.41421次方的近似值

4.655536

4.706965

4.727695

4.728733

4.728785

而前面用計算機求得

3的根號2次方的近似值

為4.72880438784

因此我們可以發現

有理數指數3的1.4次方

3的1.41次方

3的1.414次方

3的1.4142次方

3的1.41421次方的近似值

會愈來愈接近3的根號2次方的近似值

事實上我們可以找到一系列的有理數

1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421

愈來愈接近根號2

那麼相對應的有理數指數

3的1.4次方

3的1.41次方

3的1.414次方

3的1.4142次方

3的1.41421次方

也會愈來愈接近一個實數

這個實數就是3的根號2次方

一般而言設a為不等於1的正數

對於任意一個無理數x

仿照定義3的根號2次方的方法

若可以找一系列愈來愈接近x的有理數

r r r 一直到r

則a的r 次方

一直到a的r 次方等等

也會趨近於一個實數

這個實數就是a的x次方

了解了無理數指數的定義後

再配合前面影片所介紹的

整數與有理數指數的定義

那麼整個實數的指數都有定義了

對於無理數指數的運算

指數律依然成立

換句話說

前面影片介紹的有理數指數的指數律

擴展到實數指數律依然會成立

我們敘述如下

設r s是實數

底數a b是正實數 則

我們舉實例來化簡下列指數

我們將前面介紹的內容做個整理