每年只要手機公司推出新款手機後

就會開始出現容量要買多少比較好的話題

不知道64G夠用嗎

要買128G好呢

還是直接挑戰大容量512G

這些代表記憶體 行動硬碟 手機容量的G

代表什麼意思呢

手機或電腦中記憶體一個字母的單位

稱為位元組byte

例如hello在記憶體中會佔用5個位元組

當文件越來越大的時候

電腦就會以其他符號來表示資料容量

依次序為1KB等於2的10次方byte

1MB等於2的10次方KB

1GB等於2的10次方MB

1TB等於2的10次方GB

1TB等於2的10次方GB

等於2的20次方MB

等於2的30次方KB

等於2的40次方byte

根據上述的換算關係

你可以知道1TB等於2的40次方byte

而2的40次方到底有多大呢

對於一些很大或很小的數字

若能表示成10的幾次方

那麼就可以方便理解這個數的大小

回到1TB等於2的40次方byte這個問題

我們想要探討2的40次方的大小的話

假設我們知道2等於10的a次方

那麼2的40次方等於

括號10的a次方的40次方

等於10的40a次方

如果可以估計a

就可以估計2的40次方的大小

接下來我們可以先探討

2是10的幾次方這個問題

即探討a這個數的大小

a會是正整數嗎

因為10的0次方等於1

10的1次方等於10

因此a不會是正整數

a會是非整數的有理數嗎

設2等於10的n分之m次方

m n 為正整數

那麼2的n次方 等於10的m次方

因為2的n次方中只有質因數2

10的m次方中會有質因數5

這是矛盾的

因此a不等於n分之m

其中m n是正整數

當然n分之m是負數的話

10的n分之m次方比1小

因此2不會等於10的n分之m次方

看起來a好像不是我們熟悉的數

可不可以估計一下a的近似值呢

利用計算機按10的xy次方鍵

0.3等於與10的xy次方鍵0.4等於

算出10的0.3次方約等於1.9953

10的0.4次方約等於2.5119

那麼10的0.3次方小於10的a次方

小於10的0.4次方

因此a介於0.3與0.4之間

我們可以再縮小估計的範圍

用計算機按10的xy次方鍵0.31等於

算出10的0.31次方約等於2.0417

那麼10的0.3次方小於10的a次方

小於10的0.31次方

因此a介於0.3與0.31之間

持續縮小估計範圍

用計算機按10的xy次方鍵0.301等於

與10的xy次方鍵0.302等於

算出10的0.301次方約等於1.999

10的0.302次方約等於2.0045

那麼10的0.301次方小於10的a次方

小於10的0.302次方

於是a介於0.301與0.302之間

觀察10的a次方等於2

比較接近10的0.301次方

所以a比較接近0.301

上述的過程可以持續下去

每一次a的估計範圍都會愈來愈小

因此到了最後在數線上

可以找到一個實數a滿足

10的a次方等於2

我們將a定義成2的常用對數

符號表為log2

換句話說甚麼是log2呢

log2就是一個實數

10的這個數的次方等於2

寫成符號就是10的log2次方等於2

一般而言任何的正數p

都可以定義常用對數logp

常用對數的定義

若正數p表成10的乘冪

即p等於10的a次方

則稱a為p的常用對數

符號表為a等於logp

利用常用對數的符號

任何正數都可以表為10的乘冪

舉例來說

甚麼是log0.3呢

log0.3就是一個數

10的log0.3次方等於0.3

即0.3等於10的log0.3次方

甚麼是log5呢

log5就是一個數

10的log5次方等於5

接下來我們做個小測驗

我們最後將前面的內容做個總結

滿足10的a次方等於2的實數a不是有理數

任何正數p都可以表示成10的logp次方

稱logp為p的常用對數

最後邀請同學們

試試看利用計算機探討滿足

10的a次方等於3的實數a的大小

並使用計算機中log的按鍵計算log3

比較看看log3與實數a的大小是否接近呢