如果今天你跟同學一起去爬山

突然旁邊的同學問你

怎麼覺得今天爬的山

比上個禮拜爬的山還要累

你該怎麼回答他呢

我們都知道爬山累不累主要是考慮

山的傾斜程度

那我們要如何來衡量傾斜程度呢

假設有兩條登山路線

第一條是往前100公尺上升5公尺

第二條是往前100公尺上升20公尺

請問哪一條比較陡呢

很顯然根據大家的經驗

第二條路線比較陡

因為同樣是前進100公尺

第二條路線上升的高度比較多

我們也可以用每單位距離所上升的高度來思考

第一條路線是前進100公尺上升5公尺

相當於每1公尺上升0.05公尺

而第二條路線是前進100公尺上升20公尺

相當於每1公尺上升0.2公尺

因為第二條路每單位距離所上升的高度比較多

所以比較陡峭

像這樣將鉛直位移和水平位移相除

就是斜率的概念

從圖形上來看

x2減x1是A到B的水平位移

y2減y1是A到B的鉛直位移

將鉛直位移除以水平位移就能算出斜率

但是如果L變成鉛直線

那A和B會有同樣的x坐標

表示從A到B是沒有水平位移的

斜率的分母為x1減x1等於0

那就無意義了

因此我們就不去定義鉛直線的斜率

根據前面的討論

定義 設A B是直線L上的相異兩點

若L不是鉛直線 x1不等於x2

則L的斜率m等於 y2減y1除以x2減x1

若L是鉛直線 x1等於x2

則不定義L的斜率

讓我們試著利用這個定義來計算直線的斜率吧

直線y等於 0.05x的斜率是多少呢

我們可以利用直線上的兩個點 來計算斜率

x方向的變化量是100減0

y方向的變化量是5減0

所以根據定義

斜率等於5除以100 等於0.05

那直線x等於1的斜率是多少呢

因為x等於1是一條鉛直線

線上任兩點x的坐標相同

所以x的變化量等於0

當分母變成0就無意義了

所以沒有斜率

如果直線是條水平線 例如y等於2

斜率是多少呢

因為y坐標相同

所以斜率經過計算之後等於0

斜率有沒有可能是負的呢

我們來看 y等於 -0.05x這條直線

利用直線上的兩個點 來計算斜率

x方向的變化量是5減0

y方向的變化量是-100減0

所以根據定義

斜率等於5除以-100 等於-0.05

所以說斜率有可能是負的

觀察斜率的定義

同學可能會發現它的AB兩點

是直線上任取的相異兩點

那萬一每個人選的AB兩點不一樣

算出來的斜率難道會一樣嗎

以直線y等於0.05x為例

如果一個人選了以及兩點

另一個選了以及兩點

那他們算出的斜率分別是多少呢

兩個算出來都是0.05

同學也可以自己任取線上相異兩點來試試看

算出來的斜率也一定會是0.05喔

回到一開始爬山的問題

我們可以計算出第一條路的斜率是

5除以100等於0.05

而第二條路的斜率是

20除以100等於0.2

也就是在上坡時斜率是正的

所以斜率數值越大傾斜程度越大

如果是下坡的話斜率就變成負的了

我們可以計算出第一條路的斜率是

-5除以100等於-0.05

而第二條路的斜率是

-20除以100等於-0.2

也就是說在下坡時斜率是負的

當斜率數值越小負的越多傾斜程度越大

因此我們可以歸納出一些結論

斜率的正負號代表直線的傾斜方向

m大於0表示直線是左下到右上傾斜

m小於0表示直線是左上到右下傾斜

斜率的絕對值代表直線的傾斜程度

m的絕對值相同則直線傾斜程度相同

m的絕對值越大則直線傾斜程度越大

最後讓我們來統整今天學到的內容

最後讓大家動動腦筋