在電影中經常會看到雷射偵測的保全系統 而主角總是能夠有驚無險的避開所有的雷射光線 不過要如何完全決定一道雷射光的位置呢 其實我們只需要兩個點就可以囉 但如果現在只知道雷射光通過某一個點 那還需要什麼條件 才能確定雷射光的位置呢 答 A 當雷射光的傾斜角度固定後 雷射光的位置就能完全確定 雷射光的傾斜角度 對應的就是斜率的概念喔 從剛剛的思考 我們知道不但兩個點可以決定一條直線 一個點和斜率也可以決定一條直線 既然決定了一條直線 我們就可以把它的方程式求出來 一起來看看下面的例子 首先是兩點可以決定一條直線的例子 試求通過 兩點的直線方程式 如果大家還記得國中所學的方法的話 我們可以假設直線方程式為 y等於 ax 加 b 然後把兩點代入直線方程式求a跟b 算出來a等於2 b等於 -1 所以直線方程式為 y等於 2x減1 我們可以這樣想 這條直線被兩個點限制了 就好像是被兩根釘子釘住無法動彈 這時候如果把其中一個點拿掉 那直線就可以自由旋轉了 這告訴了我們 通過一個點的直線有無限多條 就如同通過一個點的雷射光有無限多條一樣 雖然通過一個點的雷射光有無限多條 但只要確定了傾斜角度 就可以確定是哪一條 也就是說雖然通過一個點的直線有無限多條 但只要確定了直線的斜率 那就能確定是哪條直線 就可以把直線方程式求出來了 一起來看看這個例子 試求通過點且斜率為2的直線方程式 坐標平面上 通過 A 的直線有無限多條 但是斜率為2的只有 1 條 那麼該如何表示其方程式呢 若 P 是直線上的動點 因為斜率為2 所以y減3除以x減2等於2 即 y減3等於2乘以括號x減2 整理一下得到y等於 2x減1 此 x y 的關係式即為所求直線方程式 更一般的來說 通過點 A 且斜率為 m的直線方程式要怎麼求呢 P 是直線 L 上異於 A 的動點 因為 L 斜率為 m 所以y減y0除以x減x0等於m 即 P 滿足方程式 y減y0等於m乘以括號x減x0 此式稱為直線L的點斜式 回到上一個問題 如果我們知道的是直線通過 那還能使用點斜式嗎 其實還是可以的喔 因為藉由兩個點 我們可以算出直線的斜率 再代入點斜式 就可以很快求出直線的方程式了 根據斜率的定義 m等於y1減y2除以x1減x2 我們先計算直線上兩點 的斜率為 m等於5減3除以3減2等於2 根據點斜式公式 我們知道直線方程式為 y減3等於 2乘以括號x減2 經過整理後y等於 2x減1 延續我們剛剛的直線方程式 y等於 2x減1 當x等於0時 y等於 -1 表示直線與y軸交點為 我們定義與y軸交點的y坐標為y截距 同理 當y等於0時 x等於 2分之1 表示直線與x軸的交點為 我們定義與x軸交點的x坐標為x截距 如果我們知道一條直線的斜率和y截距 就等同於知道一條直線的斜率和通過的一個點 如此便能利用點斜式將直線方程式求出來 當直線的斜率為a y截距為b時 我們可以利用點斜式得到 y減b等於a乘以x減0 整理後得到 y等於 ax加b 我們將它稱為斜截式 回到剛剛的例子 當斜率為2 y截距為-1時 根據斜截式直線方程式為 y等於 2x加1 跟我們一開始用點斜式得到的直線方程式一樣 有了斜率和y截距 相當於有了斜率和線上一點 就可以求出直線方程式 那如果有了x截距和y截距 是不是就相當於有了直線上的兩點 不就也可以求出直線方程式了嗎 再次運用我們剛剛的直線y等於 2x減1 整理一下得到下面的形式 可以發現在 x除以2分之1 這項的分母剛好是x截距 y除以-1 這項剛好是y截距 也就是說當a是x截距 b是y截距 則直線方程式為a分之x加b分之y等於1 我們將它稱為截距式 現在我們已經有至少四種方法 可以求出直線方程式了 第一種是利用國中解二元一次聯立方程式的方法 第二種是利用點斜式的方法 第三種是利用斜截式的方法 第四種是剛剛講到的截距式 我們也可以發現剛剛使用同一條直線方程式 y等於2x減1 所以我們知道這四種直線方程式可以互相推導 接下來幫大家複習今天學到的內容