在上一個單元裡 我們學到三種直線方程式的表示方法 分別為點斜式 斜截式以及截距式 這三種表示方法呈現了不同的資訊 在點斜式中 我們可以看到直線通過的點以及斜率 例如直線方程式 y減5等於2乘以括號x減2 通過點 斜率為2 在斜截式中 則可以看到直線的斜率和y截距 例如 y等於2x加1 y截距是1 斜率也是2 最後在截距式中 則可以看到這條直線的x截距和y截距 例如 x除以2分之1 加 y除以1 等於1 x截距是2分之1 y截距是1 咦 觀察細微的你有沒有發現 其實這三個直線方程式代表的是同一條直線 經過整理後都可以寫成 2x減y加1 等於 0 像這樣以 ax加by加c 等於0的形式表現的直線方程式 就稱為直線的一般式 式子裡的a b c是常數 不過如果a和b同時為0的話 此方程式就不是一條直線了 所以必須限制a和b不能同時為0 不過在怎麼樣的情況下 會用一般式來表示直線呢 一般式又有哪些優點呢 要回答這個問題 我們可以來看看點斜式 斜截式以及截距式的假設 首先點斜式和斜截式中都假設斜率為m 因此當遇到斜率不存在的鉛直線時 就無法用這兩種形式表達 例如 x等於1 再來截距式中假設x截距等於x0 y截距等於y0 因此如果遇到x截距等於0或y截距等於0的情況 也沒辦法用截距式的形式來表達 例如通過原點的 x等於y 鉛直線x等於-2或是水平線y等於1 從上面的討論可以看到 不論是點斜式 斜截式或是截距式都存在著某些限制 這也就代表有些直線是無法用 點斜式 斜截式或是截距式來表達的 然而一般式卻是完美的 根據係數a b c的任意組合 一般式可以表示出平面坐標上的任何一條直線 也就是說所有的直線都可以寫成 ax加by加c 等於0 的形式 接下來就讓我們來看看 一般式中的係數a b c 如何表示出不同的直線吧 首先當a等於0時 代入一般式會變成 by加c 等於 0 例如 y加3 等於0 或是2y減4 等於0 經過整理後我們發現他們的斜率都是0 為水平線 再來當b等於0時 代入一般式會變成 ax加c 等於 0 例如 2x減8等於0 或是 x 加1 等於0 經過整理後我們發現他們的斜率都不存在 為鉛直線 最後是a和b都不等於0的情況 我們先想想看 這條直線的斜率要如何計算呢 答案是A B選項都可以 不過用A的方式要花比較長的時間 如果用B選項的方法 將算式經過移項 整理成斜截式之後 就可以得到直線的斜率喔 直線方程式 2x加3y加4等於0 經過整理後得到 3y 等於 2x減4 y 等於 -3分之2x減3分之4 所以對照斜截式 y 等於 mx加y0 就可以看出斜率m 等於 -3分之2 在a b都不是0的情況下 直線 ax加by加c 等於0 整理成斜截式的形式後 可以得到 y 等於 -b分之ax減d分之c 此時直線 L 的斜率m等於-b分之a 我們把前面的討論整理後得到結論 直線的一般式 L ax加by加c 等於0 當b等於0的時候 直線L 是鉛直線其斜率不存在 當b不等於0的時候 直線的斜率為-b分之a 若a等於0 那就是斜率為0的水平線 若a不等於0 那就是斜直線 接下來計算看看下面的例題 從前面的討論我們看到 一般式中的係數a b其實隱含了 關於直線斜率的訊息 接著我們來看看不同的a b值 會產生什麼不同的情況 假設a b都不等於0 斜率m的絕對值 等於 -b分之a的絕對值 因此兩條直線方程式中 如果b的絕對值固定 a的絕對值越大 圖形越陡峭 如果a的絕對值固定 b的絕對值越大 圖形越平緩 再來因為m等於-b分之a 所以當a乘以b 大於0 也就是 a b同號時 斜率是負的 例如 3x加2y加1等於0 -2x減-7y等於2 而當 a乘以b小於0 也就是 a b異號時 斜率是正的 例如 3x減2y加1等於0 -2x加7y等於2 剛剛前面都只有討論一般式係數a b的情況 同學們可以想想看 一般式中的常數項c的大小 對直線有什麼影響呢 最後讓我們來一起回顧今天學到的內容吧