在平面坐標中

對於一個點的平移

可以區分為左右平移與上下平移

只要知道平移的方向與距離

則我們可以很容易的知道

平移後點的坐標

例如點 P

向右平移 4 個單位

向上平移 2 個單位

則新的點坐標為

P'等於

考慮一般的情形

若點 P

向右平移 h 個單位

向上平移 k 個單位

則新的點坐標為

P'

考慮一條直線

L 3x加2y等於5

若將直線L上所有的點

一起向右平移4個單位

向上平移2個單位

則平移後的點

所形成新的直線方程式為何呢

這個單元

我們要介紹兩種方式

來回答這個問題喔

相信同學們還記得

我們可以從

直線方程式的係數

直接求得直線的斜率

若直線方程式為

ax加by等於c

則斜率為m等於b分之負a

接下來我們就會用這樣的方式

直接求得直線的斜率

考慮直線L 3x加2y等於5

將直線上所有的點

一起向右平移4個單位

向上平移2個單位

我們將平移後所得的直線稱為L'

根據斜率的定義可知

直線L與直線L'為平行線

所以這兩條直線的斜率是相同的

因為直線L的斜mL為2分之負3

所以直線L'的斜率mL'亦為2分之負3

我們隨意的從直線L上選取一點P

將點P向右平移4個單位

向上平移2個單位

後即可得點P'

可知點P'必為直線L'上的點

因為直線L'的斜率mL'為2分之負3

根據點斜式

我們即可寫出平移後

直線L'的方程式為

L'y減3等於2分之負3乘以括號x減5

整理後可得3x加2y等於21

接下來我們試著來說明

平移後的方程式

可以直接透過變數代換

來得到平移後的方程式

同樣考慮L 3x加2y等於5

若將直線L向右平移h個單位

向上平移k個單位後可得直線L'

隨意在直線L上選取一個點P

經過平移後即為點P'

可知點P'必在直線L'上

又因為直線L與直線L'為平行線

故直線L'的斜率mL'為2分之負2

利用點斜式可知直線L'的方程式可表示為

L'y減括號1加k等於2分之負3乘以括號x減括號1加h

經整理後可得

3乘以括號x減括號1加h加2乘以括號y減括號1加k等於0

將平移量h與k分別與變數x與y整合在一起

而將常數項移到等號的右側

即可將方程式整理為

3乘以括號x減h加2乘以括號y減k等於5

從最後的結果可以觀察到一個現象

對照直線L與直線L'的方程式

整體的形式並沒有太大的變化

僅有變數x與y

分別改變為括號x減h與括號y減k

這表示 只要能夠掌握x軸與y軸方向的平移量h與k

透過變數的代換

將x用x減h取代 將y用y減k取代

即可獲得平移後的直線方程式

上述的推論過程

針對一般的直線L ax加by等於c

也可以有相同的結論

將直線L向右平移h個單位

向上平移k個單位後所得的直線L'方程式

搭配平移量h與k

我們可以直接透過變數代換 將變數x用括號x減h取代

將變數y用括號y減k取代

即可獲得平移後的直線方程式

L' a乘以括號x減h加b乘以括號y減k等於c

此外 同學們可以思考 這樣的結論

對於平移量h與k

也可以考慮負數的情形

而這樣的結論也是會成立的喔

利用變數代換的方法 回答下列問題