坐標平面上 兩條平行的斜直線 因傾斜程度與方向相同 直觀來說具有相同的斜率 反過來說 若兩條相異斜直線的斜率相同 那麼兩者是否平行呢 讓我們用實際的例子說明 考慮兩條斜率為1的直線 因為 線段ab的斜率等於1 等於線段MA分之線段MB 線段CD的斜率等於1 等於線段MC分之線段MD 所以 線段MA分之線段MB 等於線段MC分之線段MD 根據相似性質可推得 三角形BAM與三角形DCM為相似形 所以可得同位角相等 角BAM等於角DCM 故這兩條直線平行 將這樣的觀念推廣 同理可知 不論兩直線的斜率為正 負 或者為0 若兩直線的斜率相等 則兩者必為平行線 因為線段AO分之線段BO等於2 線段CO分之線段DO等於2 所以線段AO分之線段BO 等於線段CO分之線段DO 由相似性質可得 三角形BAO相似於三角形DCO 所以 角BAO等於角DCO 故這兩條直線平行 同位角相等 由此發現 斜率相同且為負的兩條直線 必為平行線 由此可知 考慮相異兩直線L1 L2 我們有以下結論 L1 與 L2平行 等價於 L1 與 L2有相同的斜率 討論完兩直線的平行與斜率的關係之後 那麼兩條相互垂直的直線 他們的斜率又具有什麼樣的特性呢 我們先看一個例子 考慮直線 y等於2x 與y等於-2分之1x 他們的斜率分別為 2與-2分之1 因為直線 x等於1 分別與兩直線交於 A B 可知線段AB等於2分之5 線段OA等於根號5 線段OB等於2分之根號5 因為這三個數滿足畢氏定理 線段AB的平方 等於線段OA的平方 加線段OB的平方 由此可知 角AOB等於90度 這表示直線y等於2x 與直線y等於-2分之1x 互相垂直 由於直線y等於2x 與直線y等於-2分之1x的斜率 乘積恰為-1 我們自然好奇的是 垂直的直線 與斜率乘積為-1 會是必然的關係嗎 接下來 我們來解釋兩條斜直線 互相垂直 與斜率乘積為-1 的必然關係 假設兩條直線 L1與L2 的斜率分別為m1與m2 因為平行直線的斜率相同 我們不妨就考慮直線 討論即可 分別在L1 L2上取 因為 L1垂直於L2 故 OAB 為直角三角形 此時線段OA的平方加 線段OB的平方 等於線段AB的平方 即括號1加m1平方 加括號1加m2平方 等於括號m1減m2的平方 整理化簡即得 m1乘以m2等於-1 反之亦然 根據上述的討論 已知斜直線 L1 L2 的斜率分別為 m1 m2 我們有以下的結論 L1垂直於L2等價於 m1乘以m2等於-1 斜直線的平行與垂直判定 設兩相異斜直線 L1 L2 的斜率分別為 m1 m2 若L1平行於L2 則 m1等於m2 若 L1垂直於L2 則m1乘以m2等於-1 利用剛剛討論的平行線與垂直線 在斜率上的特徵 對於任意一條直線L 我們可以輕易的假設出 與L平行的直線 以及 與L垂直的直線 其中L的斜率為 若我們想要假設跟直線L平行的直線L1 因為L與L1平行 以直線L1的斜率亦為 b分之-a 因此直線L1的方程式必可表達為 其中k為實數 若我們想要假設跟直線L垂直的直線L2 因為L與L2垂直 所以兩者的斜率乘積為-1 故直線L2的斜率即為 a分之b 因此直線L2的方程式必可表達為 其中k為實數 接下來讓我們來練習平行線與垂直線的假設法 因為直線L1與L平行 所以可直接假設直線L1的方程式為 因為點A在直線L1上 將點A代入 L1：3x加2y等於k 即可得實數k等於-5 可知直線L1的方程式為 此外 若已知直線L2通過A點且與L垂直 該怎麼求出直線L2的方程式呢 因為直線L2與L垂直 所以可直接假設直線L2的方程式為 因為點A在直線L2上 將點A代入L2：2x減3y等於k 即可得實數k等於-12 可知直線L2的方程式為