國中時我們曾學習過 平面上一點P到直線L的距離 即是在直線L上找一動點Q 當Q在L上移動時 能讓線段PQ最短 此時的線段PQ會垂直於直線L 這時PQ線段的長就是P到直線L的距離 如果將點與直線放到坐標平面上的話 能不能透過這樣的垂直性質 推導出點到直線的距離公式呢 首先讓我們來看看下面簡單的例子 試求點P到直線L x–3=0 及到直線M y+2=0的距離 點P到鉛直線L的距離 即是兩者之間的x方向的差 也就是|5–3|=2 點P到水平線M的距離 即是兩者之間的y方向的差 也就是 |4–|=6 那麼在坐標平面上 對於任意給定的一點P 與直線L ax+by+c=0 它們的距離d 為何呢 過P作水平線y=y 交L ax+by+c=0於A點 我們可以得到 AP線段等於 過P點作鉛直線x=x 交L ax+by+c=0於B點 我們可以得到BP線段等於 另一方面運用平面上兩點距離公式 可以計算得到AB線段等於 根號 括號 負a分之by零加c減x零平方 加 括號 y零減負b分之ax零加c的平方 等於 根號 括號 a分之ax零加by零加c的平方 加 括號 b分之ax零加by零加c的平方 等於 根號 括號 ax零加by零加c的平方 乘以 括號 a平方分之1加b平方分之1 等於 ax零加by零加c的絕對值 乘以 根號a平方分之1加b平方分之1 考慮三角形ABP面積的兩種計算方式 如果以線段AP當作底 線段BP當作高 則有三角形ABP等於 2分之AP線段乘以BP線段 如果以線段AB當作底 點P到直線L的距離當作高 則有三角形ABP等於 2分之AB線段乘以P到L的距離 於是我們可以知道 三角形ABP等於 2分之AP線段乘以BP線段 等於2分之AB線段乘以P到L的距離 稍微移項化簡後就可以得到 P到L的距離等於 AB線段分之AP線段乘以BP線段 而前面我們已經計算了AP線段 BP線段和AB線段的長度了 所以直接代入 這就是我們要證明的公式了 如果P本來就在直線L上 或者L是鉛直線或水平線 就無法如上面推導過程一樣 圍成一個三角形ABP 儘管如此這個公式仍然是對的 例如點P在直線L x–y–1=0上 可利用公式求得距離為 P到L的距離等於 根號1平方加-1的平方 分之5減1減4的絕對值 等於0 例如點P到水平直線M y+2=0的距離為 PL的距離等於 根號0的平方加1的平方 分之0乘以5加4加2的絕對值 等於6 這和課前測驗中所提到的點P到水平線M的距離 即是兩者之間的y方向的差 |4–|=6 相同 這個公式除了計算點到直線的距離之外 還可以用於一些求直線的問題 我們來看看下面這個例子 給定一點P 與直線L 2x+y=0 能不能找到平行L且和P距離為根號5的直線呢 由於和L平行的直線M的方程式 可以假設為M為2x+y+k=0 利用點到直線的距離公式 根號2的平方加1的平方 分之2乘以1加1乘以2加k的絕對值 等於根號5 化簡得 |4+k|=5 解得k=–9或1 所求的直線為 2x+y–9=0或2x+y+1=0 像這樣透過點到直線的距離公式 我們知道如果給定一點與一直線 和此直線平行且與此定點之距離 為給定正值的直線應該有兩條