國中時我們知道

在平面上的兩條平行直線L L

能夠找到某一條直線M

同時和L L 都垂直

而假設M和L L 的交點

分別為A B

那麼兩平行線L L 的距離

就是線段AB

又由於兩平行直線處處等距

因此我們只要找任意一條

和它們都垂直的直線就可以了

讓我們來看看下面簡單的例子

試求兩平行直線L x+y=0

和L x+y–2=0的距離

由於兩平行的直線之間的處處等距

兩平行線的距離

即為L 上一點 O 到直線L 的距離

又可以觀察到O在L 上的垂足為P

兩點的連線段OP線段長根號2

即為兩平行直線的距離

在之前的課程中

我們知道兩平行直線的方程式

可以寫作L 為ax+by+c =0

和L 為ax+by+c =0

c ≠ c

那麼它們的距離d 應該如何求得呢

我們可以在L 上任取一點A

接著過點A作L 的垂直線M

因為L 和L 平行的緣故

所以M同樣會垂直於L 並交L 於點B

點A到L 的距離就是線段AB

又因為兩平行直線之間的處處等距

這個線段AB就是兩平行線L L 的距離

也就是d等於AB線段等於d

透過上面的討論

我們可以利用上一部影片提到的

點到直線的距離公式

來求兩平行直線的距離

因為點A在L ax+by+c =0上

所以ax +by +c =0

也就是ax +by =–c

將它代入上面的式子中可以得到

這就是兩平行直線的距離公式

同學們可以觀察一下這個公式

由於它是從點到直線的距離公式所導出來的

因此它的分母

和點到直線的距離的公式的分母是一樣的

而分子的部分

則是化成一般式且x y的係數相同時

它們的常數相差的絕對值

利用兩平行直線的距離公式

它們的距離是

事實上我們也可以透過

點到直線的距離公式

來求上面題目的答案

在兩平行直線的距離公式中

我們要求x和y的係數對應相同

也要將直線化成一般式

但兩平行直線的方程式

它們的係數不一定會相同

可能僅是成比例

如果是這樣的話

就要將其中一個方程式

同時乘以某個倍數

藉此將係數調整成相同

此外如果直線方程式不是一般式的話

也要將常數項移項到等號的同一側

此兩平行直線的距離公式才得以適用

例如所給定的兩條直線如果是

2x+4y+2=0 和 3x+6y=3

我們在前面的方程式等號兩側乘以2分之1

後面的方程式等號兩側乘以3分之1

使兩者的x y係數對應相同

即兩條直線為x+2y+1=0

和 x+2y=1

又兩平行直線的距離公式中

直線應以一般式表示

故將後面方程式的常數移至等號左側

即x+2y–1=0

兩直線x+2y+1=0 和x+2y–1=0的距離為