國中時我們曾學習過如何在數線上表達一元一次不等式的解同學還記得嗎例如不等式x≤–2 我們可以在數線上將解的範圍表示出來此時使用實心的點來表示包含–2 又例如不等式 x>1 我們一樣可以在數線上將解的範圍表示出來此時使用空心的點來表示不包含1 具有兩個未知數x y 且最高次方為一次的不等式稱為二元一次不等式例如 2x+3y≤6 而滿足該二元一次不等式的實數對就稱為該不等式的解而實數對可以對應到坐標平面上的一個點可以標示在坐標平面上並且探討解的圖形讓我們來看看下面簡單的例子在坐標平面上先畫出直線2x+3y=6 在這條直線上的點當然都會滿足二元一次不等式2x+3y≤6 可以發現也能滿足2x+3y≤6 還可以再找更多點嗎例如這些點也都能滿足2x+3y≤6 我們找到的這些點都是不等式2x+3y≤6的解從上面的例子發現我們所找到的解都落在直線2x+3y=6的左下側這是個巧合嗎還是說不等式2x+3y≤6的所有解都會落在直線2x+3y=6的左下側呢我們可以這樣思考假定恰好能滿足2x+3y=6 也就是2x + 3y =6 則對於左邊的點來說因為 x 0 所以2x < 2x 我們得到2x + 3y < 2x + 3y =6 這表示也能滿足不等式2x+3y≤6 這代表左側的所有點都是不等式2x+3y≤6的解同樣地對於下面的點來說因為y 0 所以3y <3y 我們得到2x +3y <2x +3y =6 這代表都是不等式2x+3y≤6的解從以上討論可以發現對於任何直線上的點來說它的左邊的點和下方的點都是不等式2x+3y≤6的解這就代表直線左下方的所有點都是不等式的解於是我們得到結論不等式2x+3y≤6的解所表示的圖形就是直線2x+3y=6左下方的半平面區域一般來說若要解二元一次不等式ax+by≤c 可以先畫出直線ax+by=c 接著用x的係數來判斷解的區域如果x的係數a>0 那麼當x愈小所得到的ax+by便愈小就更能滿足ax+by≤c的這個條件因此解的圖形為直線的左半平面反之如果x的係數a<0 那麼當x愈大所得不等式的右側ax+by便愈小就更能滿足ax+by≤c這個條件因此解的圖形為直線的右半平面設直線L ax+by=c 一般而言我們可以知道當a>0時 ax+by≤c的解的區域為直線L的左半平面含直線 ax+by≥c的解的區域為直線L的右半平面含直線當a<0時 ax+by≤c的解區域為直線L的右半平面含直線 ax+by≥c的解區域為直線L的左半平面含直線同樣地如果改用y來考慮我們可以知道當b>0時 ax+by≤c的解區域為直線L的下半平面含直線 ax+by≥c的解區域為直線L的上半平面含直線當b<0時 ax+by≤c的解區域為直線L的上半平面含直線 ax+by≥c的解區域為直線L的下半平面含直線在坐標平面上畫出二元一次不等式的解的範圍稱之為圖解不等式如果這個不等式是不包含等號的不等式例如 3x+y>–3 可以先用虛線畫出直線3x+y=–3 來表達此解區域不包含這條直線並透過x的係數3>0 y的係數1>0 得知當x愈大y愈大所得不等號右側3x+y應該會愈大更能滿足3x+y>–3 因此此不等式的解區域應該是此直線的右上側並且不包含直線3x+y=–3 我們先用虛線畫出2x–3y=6 因為x的係數2>0 所以當x愈小所得到的2x–3y愈小應該選取直線的左側又因為y的係數–3< 0 所以當y愈大所得到的2x–3y愈小應該選直線的上方綜合而言解區域便是2x–3y=6的左上側並且不包含直線2x–3y= 6 聯立不等式是由多個不等式組成它的解滿足其中的每一個不等式因此解區域為這些不等式解區域的共同部分下面我們做一個例題圖解聯立不等式 x+y≤4 x–2y>2 步驟一畫出不等式x+y≤4的解區域以實線畫出x+y=4 因為x y的係數皆大於0 所以解區域為直線x+y=4的左下側包含直線的半平面步驟二畫出不等式x–2y>2的解區域以虛線畫出x–2y=2 因為x的係數大於0 y的係數小於0 所以解區域為直線x–2y=2的右下側不包含直線的半平面將兩張圖相疊後取出它們的共同部分這就是聯立不等式 x+y≤4 x–2y>2的解區域