一年一度的校園運動會又到了 啦啦隊的同學們辛苦練習了許久 期待著明天的表演 一早隊長與副隊長提前來到學校準備 讓他們大吃一驚的是 地板上的記號竟然都被清除了 哎 真不好意思啊 我以為那是垃圾 所以就把記號撕掉了 眼看著距離表演只剩下不到一個小時 隊長與副隊長思考著要怎麼重現漂亮的同心圓隊形 先讓我們來回顧圓的定義 在平面上與一定點的距離為 大於0的定值之所有點所成的圖形稱為圓 此定點稱為圓心 定值稱為半徑 從上述圓的定義 聰明的正副隊長找到了一條繩子 隊長站在隊形的中間 副隊長將線拉直繞著隊長 順利的復原了地板上的記號 假設這個圓C在平面上以點A為圓心 3為半徑 若點P為圓C上的任意點 則點P應該滿足什麼式子呢 依照剛剛圓的定義可知線段PA等於3 也就是根號 括號x減2的平方 加括號y減1的平方等於3 即括號x減2的平方 加括號y減1的平方 等於3平方 這就是圓的標準式 接下來將上面的例子類推至一般情形 也就是將原本的圓心A由改用取代 將原本的半徑3用半徑r取代 其中h k為任意實數 r為任意的正實數 此時得到一般的圓C 接著利用PA等於r 可得圓C的方程式為 括號x減h的平方 加括號y減k的平方 等於r平方 這個方程式就稱為圓C的標準式 請寫出以為圓心 2為半徑的圓方程式 我們已經知道圓的標準式了 那麼我們是否也可以從圓的方程式 看出圓心和半徑呢 首先我們先來看圓的標準式 若圓心坐標為 半徑為r 則圓方程式為 括號x減h的平方 加括號y減k的平方等於r平方 也就是說圓心會藏在圓方程式左邊的平方項裡面 而右邊為半徑的平方 我們以下面的這道題目來判斷 如果圓方程式為 括號x加1的平方 加括號y減4的平方等於3 那麼圓心與半徑值分別為何呢 由標準式 括號x減括號-1的平方 加括號y減4的平方 等於括號根號3的平方 可以得知圓心為（-1,4） 半徑為根號3 有了上述的概念後 如果以A和B為圓直徑的兩端點 我們是否也可以求出此圓的方程式呢 由圓的標準式可以得知 我們需要先知道圓心和半徑 即可得到圓的方程式 從圓的定義可以得知圓心O是A B的中點 因此可以透過中點公式 2分之1加括號-3 2分之-2加4 等於-1 1 得到圓心坐標 再來半徑為2分之1乘以線段AB 等於2分之1乘以根號 括號1減括號-3的平方 加括號-2減4的平方 等於2分之1乘以根號4乘以13 等於根號13 因此圓方程式為 括號x減括號-1的平方 加括號y減1的平方 等於括號根號13的平方 也就是 括號x加1的平方 加括號y減1的平方等於13 在國中的時候曾經學過 任意的三角形都存在唯一的外接圓 亦即給定不共線的相異三個點可決定一個圓 因此如果已知三角形ABC的三頂點坐標分別為 A B C 試求三角形ABC的外接圓方程式 這道問題可以利用圓心O 到三頂點等距離的概念來求解 也就是 線段OA等於線段OB等於線段OC 先設圓心為O 因線段OA等於線段OB 可得 根號括號x減4的平方加括號y減0的平方 等於 根號x減1的平方加括號y減1的平方 即 括號x減4的平方加括號y減0的平方 等於 括號x減1的平方加括號y減1的平方 化簡得到3x 減 y等於 7 由線段OB等於線段OC可得 根號括號x減1的平方加括號y減1的平方 等於 根號括號x減3的平方加括號y減1的平方 即 括號x減1的平方加括號y減1的平方 等於 括號x減3的平方加括號y減1的平方 化簡得到x 等於 2 接下來只要解3x 減 y等於 7 和x 等於 2的聯立方程式 即可得到圓心O的坐標為 最後計算圓心與三角形任一頂點的距離 就可以得到半徑 半徑r等於線段OA 等於根號括號2減4的平方加括號-1減0的平方 等於根號5 故外接圓方程式為 括號x減2的平方加括號y加1的平方 等於5 最後將大家今天學到的知識進行整理 若圓心坐標為半徑為r 則圓方程式為 括號x減h的平方加括號y減k的平方等於r平方 那麼同學們都學會了嗎 其實任何問題 我們只要能夠找得到圓心坐標和半徑的值 就可以得到圓方程式了喔