同學們還記得在前面已經學過 直線可表示成二元一次方程式 ax 加 by 加 c 等於 0的形式嗎 那麼圓方程式的一般形式會是什麼樣子呢 首先讓我們先考慮一個例子 假設圓的標準式是 括號x減1的平方 加 括號y加1的平方 等於 4 我們可以透過展開得到一個二元二次方程式 x的平方 加y平方 減2x加2y減2 等於 0 其實任何一個圓的標準式 括號x減h的平方 加括號y減 k的平方 等於r的平方 將它展開以後都可得到形如 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 的形式 這種二元二次方程式的表示式 我們稱之為圓的一般式 我們已經知道圓一般式的形式為 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 那麼 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 這個形式該如何表示成圓的標準式呢 我們以x平方加 y平方減 2x減 6y 加6等於0 為例 首先我們先觀察 圓的標準式的左邊是二組完全平方式 括號x 減 h的平方 加 括號y 減 k的平方的和 而這樣表示法是利用配方法得來的 因此我們將 x平方加 y平方減 2x減 6y 加6等於0 移項整理成 括號x平方減 2x加括號y平方 減 6y等於- 6 再經由配方 括號x平方減2x 加1加 括號y平方減 6y加9 等於-6 加 1 加 9 可以得到括號x減1的平方 加 括號y減3的平方 等於 4 一般而言將圓的標準式 括號x減h的平方 加括號y減 k的平方 等於r的平方 展開後即可得到 x平方加 y平方減 2hx減 2ky 加括號h平方 加 k平方減 r平方等於 0 我們對照一般式 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 可以發現關係式 h 等於 -2分之d k 等於 -2分之e f 等於 h平方 加k平方 減r平方 已知圓的一般式形如 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 那麼反過來形如 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 的圖形 是否都是圓呢 我們來看幾個例子 有一個二元二次方程式 x平方 加 y平方加2x加4y加5 等於 0 如果對x y分別配方後可以得到 括號x 加 1的平方 加括號y 加 2的平方 等於 0 因此x等於-1 y 等於-2 此方程式圖形為一個點 有一個二元二次方程式 x平方加y平方加2x加4y加7等於0 如果對x y分別配方後可以得到 括號x加1的平方 加括號y加2的平方 等於-2 但因為對任意實數x y而言 括號x加1的平方 加括號y加2的平方 大於等於 0 故此方程式無實數解 所以這個方程式的圖形不存在 從上述的討論中我們可以得到 將形如x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 的 二元二次方程式配方為 括號x減h的平方 加括號y減k的平方 等於D的形式 其結論如下 當D大於0時圓心為 半徑為根號D 當D等於0時為一點 當D小於0時沒有圖形 最後我們來整理這個章節學到的內容 任何一個圓的標準式 括號x減h的平方 加括號y減k的平方 等於r平方 將它展開以後都可得到形如 x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 的形式 這種二元二次方程式的表示式 我們稱之為圓的一般式 將形如x平方加y平方加dx 加ey 加 f 等於 0 的 二元二次方程式配方為 括號x減h的平方 加 括號y減k的平方 等於 D的形式 則 當D大於 0 則圖形為以 為圓心 半徑為根號D的圓 半徑為根號D的圓 當D等於0 則圖形為一點 當D小於0 則沒有圖形 那麼同學們都學會了嗎 其實我們知道圓的一般式 可以經由配方法將它化成圓的標準式 就可以知道該圓的圓心坐標和半徑的值喔