不知道大家有沒有坐過摩天輪的經驗

台灣各地都可以看到高聳吸睛的摩天輪

隨著高度的上升

可從高處將美景盡收眼底

夜晚的燈光秀為賓客帶來另一場視覺饗宴

如果我們把摩天輪當作是一個圓

而地面是一條直線

那麼大家知道如何計算

摩天輪最高的位置距離地面多少公尺嗎

而摩天輪最低的位置

距離地面又是多少公尺呢

這個問題和我們今天要和大家討論的主題

圓與直線有關喔

首先我們在平面上任意畫一個圓Ｃ和一直線Ｌ

從下面的圖形關係上來看

它們之間的關係可歸納分成下列三種情形

1. 不相交又稱為相離

2. 交於一點Ｐ又稱為相切

此時Ｌ稱為圓C的切線 P點稱為切點

3. 交於相異兩點相割

此時稱Ｌ為圓Ｃ的割線

我們可以由圖形直觀來看

平面上的一圓與一直線的關係

正好為以上三種關係之一

如果已經知道有一圓 C 和一直線 L 相交於兩點

也就是相割的情況的時候

我們能不能求出割線段的弦心距

及割線段的長度呢

接下來我們來看個例子

1. 已知有一圓C

x平方加y平方減2x加4y減4等於0

與一直線L 4x加3y加7等於0 相割

試求割線段的弦心距及割線段長

首先將圓配方成標準式

括號x減1的平方 加括號y加2的平方 等於3平方

有了標準式後

我們便可以得知圓心為點Q 半徑為3

接下來畫出輔助線

此割線段的弦心距即為Q點到L的距離

要算出這段距離會用到點到直線的距離公式

我們先來幫大家複習一下

點 P 到直線 L 的距離等於絕對值

帶入直線ax+by+c

除以根號a平方加b平方

從公式我們可以求出這個割線段的弦心距

將座標帶入

算出答案等於1

最後由圖我們可以利用畢氏定理求得割線段長

等於 2根號3平方減1平方

等於 4根號2

讓我們來練習看看

接下來我們要來看另外一種狀況

當圓與直線不相交時

我們是否可以知道圓上與該直線的最遠與最近的距離呢

我們以影片一開始出現的摩天輪為例

假設摩天輪所在的圓方程式為 C

括號x減30的平方 加括號y減40的平方

等於35的平方

而地面所在的直線方程式 L

3x加4y加75等於0

那摩天輪到地面的最遠及最近的距離是多少呢

從圖可以看得出來

摩天輪上到直線最遠的距離恰為

圓心到平面 L 的距離加摩天輪的半徑

所以最遠的距離等於d加r

帶入公式點到直線的距離等於

絕對值3乘以30加4乘以40加75

除以根號3平方加4平方

再加上半徑35

算出來結果等於100

再來從圖上可以看得出來

摩天輪上到直線最近的距離恰為

圓心到平面 L 的距離減摩天輪的半徑

最近的距離等於 d減r

帶入公式算出距離等於30

最後整理一下今天學到的知識

在這次的課程中

和大家討論了在平面上任意一個圓Ｃ和一直線Ｌ的關係

有下列三種

相信大家都學到了不少

最後再讓我們練習進階一點的題目

下一段的課程中將提供代數判定

與幾何判定兩種判斷的方法