某天直線L寫了一封信給圓C

親愛的圓C

世界上遙遠的不是垂直距離

而是沒辦法確認我與你之間的關係

前面的課程中

我們已經知道在平面上

任意畫一個圓C和一直線L

他們之間的關係可以歸納成下面三種情形

如果我們在坐標平面上

給定一圓與一直線的方程式後

該如何判斷它們的關係是屬於哪一種呢

接下來的課程將介紹代數與幾何兩種判定方式

給定一直線L和一圓C的方程式後

透過解它們的聯立方程式所得到的x y值

也就是直線和圓的交點

來判斷圓與直線的相交情形

這個方法以解聯立方程式的角度切入

僅考慮代數運算

所以稱為代數判定法

一般而言

我們可依下面的步驟來判斷圓C與直線L的相交狀況

首先 先將問題轉化成聯立方程式

接著利用代入消去法可以得到一元二次方程式

ax平方加bx加c

或 ay平方加by加c等於0

最後利用一元二次方程式的判別式

b平方減4ac

三個步驟完成後會得到三種結果分類如下

判別式大於0時

有兩個相異實根

代表圓C和直線交於相異兩點

判別式等於0時

有兩個相等實根

代表圓C和直線恰交於一點

最後判別式小於0

是沒有實根

代表圓C和直線L沒有交點

接下來讓我們來看個例子

已知圓的方程式為

x平方加y平方減2x減4等於0

請判斷圓與下列各直線的關係

第一題根據剛剛的說明

我們首先來算圓與直線 y等於2x的聯立方程式

將式代入式可以得到

x平方加括號2x的平方減2x減4等於0

整理後得到

5x平方減2x減4等於0

最後帶入判別式算出來大於０

因此圓C與直線L1交於相異兩點

即圓C與直線L1相割

第二題像剛剛一樣

將式代入式可以得到

x平方加括號2x加3的平方減2x減4等於0

整理後得到

x平方加2x加1等於0

最後一樣帶入判別式Ｄ

算出來等於0

因此圓C與直線L2恰交於一點

即圓C與直線L2相切

第三題利用一樣的方法

最後帶入判別式 D小於0

所以就可以知道圓C與直線L3沒有交點

即圓C與直線L3相離

接下來練習看看剛剛學到的內容

圓與直線的關係除了可以用上面的代數判定之外

我們也可以利用幾何方式判斷

只要比較圓心到直線的距離

與圓的半徑的大小關係來判定

假設圓的半徑為r

圓心O到直線L的距離

d等於d

有相割 相切 相離三種相交情形

讓我們用以下的例子說明

判斷圓C

x減1括號的平方 加y加1括號的平方 等於4

與下列各直線的相交情形

由題目可知圓Ｃ的圓心 Q 且半徑r等於2

圓心和第一條直線L1

3x減4y減2等於0的距離

可以利用距離公式算出 結果小於r

所以圓C與直線L1交於相異兩點

即圓C與直線L1相割

第二條直線L2

3x減4y加3等於0

算出來的結果等於r

所以圓C與直線L2恰交於一點

即圓C與直線L2相切

第三條直線L3

3x減4y加8等於0

圓心與直線距離算出來大於r

所以圓C與直線L3沒有交點

即圓C與直線L3相離

我們馬上來練習看看

最後整理一下今天學到的知識

我們在坐標平面上

給定一圓與一直線的方程式

分別可以從代數與幾何兩種判定方式

來判別圓與直線的關係

最後一定要多練習多熟悉計算的過程

今天學到的圓與直線的代數 幾何判定法

各有他們的優點

採用代數判定法可求得圓與直線的交點坐標

如果題目需要求交點坐標的時候

採用代數判定法會比較方便快速

如果題目只需判定圓與直線的關係時

則採用幾何判定法比較快速喔