大家還記得國中曾經學過的切線性質嗎

如果給定一個點

過這個點作圓的切線數量

會因P點的位置而不同哦

如果P點在圓外

則過這個點作圓的切線

切線會有兩條

且這兩條切線段切線和P的連線段會一樣長

若P點在圓上

則過這個點作圓的切線切線會有一條

且P和圓心的連線必定會垂直這一條切線

且圓心到切線的距離恰等於半徑

如果P點在圓內

就沒辦法作圓的切線所以沒有切線了

在接下來的這兩個單元中

我們將針對下列三種情況來討論切線方程式的方法

已知切線的斜率求切線方程式

過圓上的一點求切線方程式

過圓外一點求切線方程式

首先我們先來考慮已知切線斜率的情況下

該怎麼求這條切線方程式呢

當給定切線的斜率時

我們可以以斜截式的方程式

y等於mx加k

假設切線的方程式

再利用圓心到切線的距離等於半徑的性質

就可以求出切線方程式了

現在我們以下面例子為例

已知圓方程式為

括號x減2的平方加括號y加1的平方等於10

求斜率為3的切線方程式

首先我們先假設切線L的方程式為

y等於3x加k

整理後即 3x減y加k等於0

從圓 括號x減2的平方加括號y加1的平方等於10 得知

圓心為 Ｏ 半徑 r等於根號10

圓心Ｏ到直線L的距離為

d等於根號3平方加-1的平方分之

3乘以2減1乘以-1加k的絕對值

等於根號10分之k加7的絕對值

因為L是切線

所以圓心Ｏ到直線L的距離 d等於r

即根號10分之k加7的絕對值

等於根號10

解得k等於3 或 -17

故斜率為3的切線有兩條

其方程式為 y等於3x加3

或 y等於3x減17

解答為 y等於2x加5

或 y等於2x減5

如果我們知道一個圓及圓上一點

我們該如何知道過這個點的切線方程式呢

現我們透過下面的例子來說明

已知點 A(-3 , 3）在圓 C

括號x加2的平方加括號y減1的平方等於5 上

試求過點 A且與圓 C 相切之切線方程式

直線 OA 的斜率為

-3減括號-2分之3減2等於-2

由 OA垂直PA兩直線的斜率乘積等於-1

可得此切線方程式的斜率為2分之1

則根據點斜式可得到切線方程式為

y減3等於2分之1乘以括號x加3

整理之後可以得到

x減2y加9等於0

即為所求切線方程式

最後整理一下今天學到的知識

這個單元討論了兩種類型的切線方程式

包含已知切線的斜率求切線方程式

以及過圓上的一點求切線方程式

不知道大家學會了嗎

接下來再下一個單元我們將針對

通過圓外一點求切線方程式

讓我們繼續學下去囉