學校要舉辦園遊會了 同學們興高采烈的決定要以烤香腸來當作主打商品 根據老師的經驗 如果每一支香腸的利潤為 x 元 則銷售量為 200 減 10x 那麼園遊會結束之後 班上共會淨賺多少利潤呢 答案為 利潤總額等於一支香腸的利潤乘以銷售量 等於 x 乘以 等於 200x 減 10x的平方 我們把形式如同 200x 減 10x的平方的式子稱為 x 的多項式 如果一個式子可以寫成像下面的形式 其中 n 為非負整數 an, an減1 一直到 a0 為 個給定的常數 則我們稱這個式子為 x 的多項式 多項式是由變數 x 與常數 ak 透過 “加、乘”兩種運算所形成的代數式 通常 f g P Q 用等符號來表示不同的多項式 比如 f 等於0 g 等於負 5x 加 1 P 等於 2x平方加 1 Q 等於負 x 加 x三次方 在這個式子中 與 xn次方, 減1次方一直到 x的1次方對應的常數 an, an減1 一直到 a1 分別稱為 n, , 1次項係數 當 an 不等於 0 時 我們將an稱為首項係數 並將 a0 稱為常數項 例如在 p 中 p 等於 2x平方加 1 等於2x平方加 0x 加 1 x平方 x 與常數項分別為 2 0 1 而與 x平方對應的係數 2 就稱為首項係數 同學有沒有注意到 在尋找首項係數的時候 我們習慣將同次項合併 並且次方由高排到低 這種由高次方排到低次方的排序方式稱為「降冪排列」 這裡的冪指的是次方的意思 將多項式 f 以降冪排列時 f 等於 an 的 xn 次方 加 an減1 的 xn減1次方一直加到 a1 的 x 一次方加 a0 如果首項係數 an 不為 0 則稱多項式 f 的次數為 n 記做 degree of f 等於 n 並稱 f 為 n 次多項式 園遊會香腸利潤的例子中 我們將利潤總額 f 由高次方往低次方排序 則香腸利潤的降冪排列為 利潤總額等於一支香腸的利潤乘以銷售量 f 等於負10x 的平方加 200x 降冪排列 可以觀察到首項中 x 的次數為 2 因此 f 的次數即為 2 也就是說 f 為一個二次多項式 記做 degf 等於 2 特別注意的是 一個非零的常數多項式 f 等於 c 的次數為 0 而零多項式 f 等於 0 的次數是沒有定義的 反之 如果將函數 f 由低次方排列到高次方 則稱之為「升冪排列」 相同的例子中 如果我們將 f 由低次方往高次方排序 則香腸利潤的升冪排列為 利潤總額等於一支香腸的利潤乘以銷售量 f 等於 200x 減 10x 平方升冪排列 那麼在什麼條件下 兩多項式 f 與 g 稱之為相等呢 我們將多項式 f 與 g 同次項同類項合併 並整理成降冪排列或升冪排列後 再進一步觀察他們的次數與係數之間的關係 如果兩多項式的次數相等 同次項合併後對應項的係數亦相等時 則 f 與 g 代表同一個多項式 即 f 與 g 相等 記做 f 等於 g 例如 f 等於 x 平方加 5x 加 3 g 等於 的平方加 x 減 1 等於 x平方加 4x 加 4 加 x 減 1 等於 x平方加 5x 加 3 根據上述定義 多項式 f 等於 x平方加 5x 加 3 與 g 等於 的平方加 x 減 1 相等 即 f 等於 g 接著讓我們來回顧一下這個單元學到的內容 一 凡是可以寫成 an的xn次方加 an減1的nx減1次方 一直加到 a1的 x 加a0 的式子稱為 x 的多項式 其中 n 為非負整數 an 不等於 0 為首項係數 a0 為常數項 二 如果首項係數 an 不為零 則多項式 f 的次數為 n 記做 degf 等於 n 三 如果多項式依各項次數由高到低排列 稱為降冪排列 f 等於 an的xn次方 加 an減1 的 xn減1次方 加一直加到 a1的x 加 a0 如果多項式依各項次數由低到高排列 稱為升冪排列 f 等於 a0 加 a1x 加一直加到 an減1 的 xn減1次方加 an 的 xn次方 四 如果兩多項式 f g 的次數相等 同次項合併後對應項的係數亦皆相等時 則兩多項式代表同一個多項式 即 f 與 g 相等 介紹到這裡 同學們是不是更認識多項式了呢 最後試著想一想為什麼零多項式的次數不是定義成零 而是無法定義呢