在先前的影片中

我們學習到了多項式的基本定義以及名詞介紹

同學還記得在園遊會的例子中

如果每根香腸的利潤為x元

則銷售量為200減10x

這兩個多項式乘起來後

可以得到園遊會的利潤總額

200x減10x平方

接下來會介紹如何進行多項式的

加法 減法以及乘法的運算

如此一來就可以計算類似的問題囉

首先我們先以下面兩個多項式為例

在進行多項式的運算時

我們習慣先將多項式進行降冪排列或升冪排列

1. 我們將兩多項式採用降冪排列的方式將同次項合併

2. 重新整理為下面這樣

3. 那麼多項式的加法運算就是將

相對應的位置係數進行相加

所以f加g的二次項

4加括號-1等於3

一次項1加3等於4

如果有缺少的項次

例如g中的常數項

代表該位置的係數是0

所以相加完之後我們得到了

f加g等於 3x平方加4x加1

多項式的減法運算也是同樣的道理

就是將相對應的位置係數進行相減

因此我們得到了

f減g等於 5x平方減2x加1

如果我們先將負號乘入g

再與 f相加

可以發現f減g的結果是相同的

也就是說f減g

可以看成f加-g

其中-g等於 x平方減3x

經過相同的運算結果得到答案

等於 5x平方減2x加1

來講解多項式的乘法

假設老師根據最近幾年的經驗

得到一個新的利潤模型

他發現每根香腸販售30加x元

銷售量會是 300減2x平方加x

那麼在該模型假設下

園遊會結束後在扣除成本之前

總共會收到多少錢呢

我們將總金額寫成x的多項式

f等於括號30加x乘以 括號300減2x平方加x

在進行多項式的乘法運算時和加減法一樣

我們習慣將兩相乘的多項式

先進行降冪或升冪排列

整理後的總金額公式為

接下來利用乘法對加法的分配律

將兩多項式進行乘法運算

所以 x加30乘以-2x平方加x加300

拆開來後會變成 x乘以後面這項

加上30乘以後面這項

前面的式子中的每一項都乘上x次方加1

後面的式子的每一項都乘上30

經過運算和整理後會變成

等於 括號-2x的三次方加x平方加300x

加上 括號-60x平方加30x加9000

下一步要將同次項合併

經過整理後就可以得到答案等於

-2x三次方減59x平方加330x加9000

多項式的乘法也可以用直式進行運算

寫成下面這樣

將同次項對齊

再依照順序進行乘法運算

30乘以300等於9000

30乘以x等於30x

最後也會得到相同的答案

我們可以由上面的例子中發現

多項式的乘法就是利用乘法對加法的分配律

將係數相乘 次方相加後合併的結果

接著我們透過接下來的例子

探討多項式進行運算後次數的變化

給定三次多項式f等於 4x三次方加x加1

與二多項式g等於 -x平方加3x

則f加g經過下面的運算後

仍為三次多項式

如果給定兩個二次多項式

f等於 x平方加x減2

g等於 -x平方減x加5

則f加g為非0之常數多項式

次數為0

再觀察一個例子

假如考慮兩個二次多項式

f等於x平方 g等於 -x平方

則 f加 g等於0

為0多項式不定義次數

經由上述幾個例子的觀察可以發現

兩個非0的多項式相加後

次數不會超過最高次數

也可能相加後成為0多項式

因此我們歸納出以下重點

兩個非0的多項式 f與g

在進行加減法運算時

f加減g的次數必定小於或等於

f與g中較高的次數

接著我們討論兩多項式進行乘法後的次數變化

給定十次多項式f與三次多項式g

則經過運算後會發現

f乘以g等於 2x十三次方

加2x十次方

加x八次方

加x五次方

加x三次方

加1 的次數為13

因為多項式的乘法是各項係數相乘

次方相加的結果

所以相乘後的最高次方項必定為

兩多項式原先的最高次方項相乘後的結果

換句話說

兩非0多項式相乘後

次數等於原兩個多項式的次數和

而首項係數必定為兩多項式的首項係數乘積

在這個章節結束前

讓我們一起來想想看

如果三個多項式 f g h 的次數分別為 a b c

也就是

第一題根據前面的規則

f加減g的次數必定小於或等於

f與g中較高的次數

根據下面的運算就可以得到答案

第二題依照下列的運算也可以得到答案

最後讓我們來回顧一下這個單元中學到的內容