在先前的影片之中

我們學習到了多項式的加法 減法

以及乘法的運算方法

接下來我們將進入多項式的除法運算

原理以及應用

在小學的時候 兩個正整數的相除可以寫成

被除數等於除數乘以商數加餘數

例如下面這樣

多項式的除法運算與正整數的除法運算

有異曲同工之妙

兩個多項式f與g相除

可以用下列形式表示

然而上述的表示法

若餘式r沒有設定條件的話

相同的被除式與除式

可能會有不只一種表示法

例如f除以g時

他們的餘式分別可以寫成

2x減2 和 x平方加2x減3

所以就像正整數的除法運算中

餘數必須小於除數的限制

在多項式的除法運算中

我們限制餘式r的次數

必須小於除式g的次數

或r為0多項式

此時我們稱f為被除式

g為除式

q為商式

以及r為餘式

至於如何找到商式以及餘式呢

我們通常會使用長除法來找商式以及餘式

有關長除法的演算法我們將以剛剛的例子作為演示

1.將被除式與除式的係數依照次方降冪

填入相對應的位置

缺項的位置要補0

2.將被除式的領導係數2

與除式的領導係數1相除後的結果

2除以1等於2

放置於商式欄中兩多項式次數差

3減2等於1的位置

3.將在2.中填入的2與除式相乘後

放置於被除式的下方後相減

此時要注意2 0 -2

代表2x三次方加0x平方減2x

重複步驟2至3

直至相減後的多項式次數

小於除式的多項式

或是相減後為0多項式

根據長除法的演算規則

我們可以找到符合限制條件下的商式以及餘式

但為何長除法可以確保找到商式以及餘式呢

這是歸功於多項式除法原理的保證

那麼什麼是除法原理呢

若f與g為兩個多項式

且g不為0多項式

則恰存在一組多項式q與r

使得f可以表示為

此時上方式子中的q與r分別稱為

被除式f除以除式g的商式以及餘式

藉由長除法的運算

f可以被表示為

被除式 除式 商式和餘式

根據定義商式為

2x三次方減4x平方加8x減5

而餘式為17

同學們在計算的過程中

可能會覺得長除法的運算十分冗長

下面我們將介紹綜合除法的原理以及使用

最簡單的情形是除式為首項係數1的一次多項式

我們用以下的實例來說明

如何用被除式與除式的係數

來表示商式與餘式的係數

根據除法原理可知

被除式等於除式乘以商式加餘式

我們將上式化簡後比較係數可得

再次提醒我們的目標

是將商式以及餘式的係數

用被除式以及除式的係數表示

因此我們將 c2 c1 c0 d

移至等號左側如下面的關係式

因此餘式可以寫成下列形式

我們以f等於2x四次方減x平方加5x

g等於x減2為例

使用綜合除法求得f

除以g的商式以及餘式

先將f以降冪方式分離係數排列

注意缺項補0

將被除式f的首項係數先放下去

將2乘上2等於4置於0的下方

將0與4相加得到4

置於橫線下方

將4乘上2等於8置於1的下方

將-1與8相加得到7

置於橫線下方

將7乘上2等於14置於5的下方

將5與14相加得到19

置於橫線下方

將19乘上2等於38置於0的下方

將0與38相加得到38

置於橫線下方

此時操作完畢

根據前面的說明可以得知商式為

2x三次方加4x平方加7x加19

餘式為38

由綜合除法的結果可知

因此f可以寫成下列的形式

我們將除式的2分之1提出來

還原成2x加1

即可得到f除以g的商式以及餘式