在觀念多項式的除法原理與餘式定理中

我們介紹如何使用綜合除法

將多項式f表示成x減c的多項式

表示為f等於括號x減c乘以q加r的形式

不僅如此

利用綜合除法我們能夠很簡便

將x的多項式f表示成x減c的多項式

即給定n次多項式f和一次多項式

藉由連續綜合除法可以將

x減c f表示為

而連續綜合除法是如何運作的呢

給定被除式

除式g等於x減c

則連續綜合除法就是不斷將

商式重複除以除式x減c

直至不能再除為止

用連續綜合除法將三次多項式

f等於2x三次方減5x平方加6x加3

表為x減1的多項式來舉例

1.我們首先將f對x減1

做第一次的綜合除法

f等於2x三次方減5x的平方加6x加3

等於括號x減1乘以

括號2x平方減3x加3加6

對其商式2x平方減3x加3

再做一次綜合除法

f等於2x三次方減5x平方加6x加3

等於括號x減1乘以

括號2x平方減3x加3加6

等於括號x減1乘以

中括號 括號x減1乘以括號2x減1

加2加6

對其商式2x減1再做一次綜合除法

新商式為2

次數小於除式x減1的次數

連續綜合除法完成

藉由觀察最後整理的式子

與完整的連續綜合除法的演算過程

每一次綜合除法後的餘式

分別為6 2 1 2

越後面的商式進行綜合除法

而得到的餘式所對應的次方越高

將f等於2x三次方減5x平方加6x加3

表為x減1的多項式之後

可以去估計當x0很接近1時

f的近似值

例如f精準到小數點後第3位的近似值

利用上面討論的方法

將f表為x減1的多項式

接著代入0.999得到近似值5.998

實際上的f等於5.998002998

與近似值差異不大

在前面的影片中

我們學習使用長除法與綜合除法

來求得商式與餘式

若除式為一次式

且只需要求得餘式

是否有其它的想法與做法呢

我們以實例來說明餘式定理

若f等於x平方加2x加1

g等於x減1

則我們用除法原理可以將

f除以g的結果表為x平方加2x加1

等於括號x減1乘以括號x加3加4

觀察得知餘式4恰為多項式

f等於x平方加2x加1

在x等於1時的值

f等於4

對於一般的多項式

f除以一次式x減c的餘式會是f嗎

答案是會的

這就是接下來要介紹的餘式定理

我們再以實例來說明餘式定理證明的內容及原理

設h等於括號x加1的五次方

希望求得h除以x減2的餘式

我們當然能夠使用長除法

或綜合除法來求得餘式

但是必須要將括號x加1的五次方展開整理

不妨換個方式思考

根據除法原理

被除式必定能表示為除式乘上商式加上餘式

括號x加1的五次方

等於括號x減2乘以q加r

等號兩邊的多項式恆等

因此將所有實數代入等號兩邊的多項式

其值都會相等

現在我們將x用2代入

使得除式的值為0

因此可得括號2加1的五次方

等於括號2減2乘以q加r

3的五次方等於0乘以q加r

r等於3的五次方

等於243

因此我們並不用展開

h等於括號x加1的五次方

只需求得h在x等於2的值h

即可知道餘式

接下來我們正式介紹餘式定理

多項式f除以一次多項式ax減b的餘式為

f

而這個定理該如何證明呢

首先根據除法原理將f表示為

f等於括號ax減b乘以q加r

其中商式為q

餘式為r

等號兩邊的多項式恆等

因為x等於a分之b

代入除式ax減b會等於0

所以將x以a分之b代入f

得到r等於f

也就是餘式

因此我們得到的結論

多項式f除以一次多項式ax減b的餘式為

f

餘式定理的好處是將多項式的值f

與f除以一次式ax減b的餘式連上關係

有時候不容易求多項式的值f

可以考慮求f除以x減c的餘式

若直接求f的值

計算量是非常龐大的

但是若根據餘式定理

f等於f除以x減3的餘式

因此可以使用綜合除法來求餘式f

接下來我們來算算看

所以f等於f除以x減3的餘式8

另一方面有時候被除式f不易展開

因此要求餘式不是很方便

那麼可以藉由求f而得到

f除以x減c的餘式

例如設f等於括號2x減3的十次方

求f除以x減2的餘式

因為括號2x減3的十次方不易展開

因此使用長除法或綜合除法都相當不方便

但藉由餘式定理

f等於括號2x減3的十次方

除以x減2的餘式

與f等於括號4減3的十次方等於1相同

根據前面兩個實例的示範

若不好求多項式的值

可以考慮多項式除以一次式的餘式

另一方面不方便使用長除法

求多項式除以一次式的餘式時

可以考慮求多項式的值