在正整數的除法中

我們將7除以3等於2餘1的

7命名為被除數

3命名為除數

2命名為商數

1命名為餘數

多項式的除法與正整數類似

我們將兩多項式

x的三次方加x加2

x平方減1

相除的結果表示為

x三次方加x加2等於括號x平方減1

乘以x加括號2x加2

並將x三次方加x加2命名為被除式

x平方減1命名為除式

x命名為商式

2x加2命名為餘式

此外當正整數相除後的餘數為0

例如 8除以4等於2餘0

則我們稱之為8被4整除

並稱4為8的因數

8為4的倍數

那麼相似的想法該如何被延伸到

多項式的除法中呢

在多項式的除法中

若兩多項式f與g

非零多項式相除後的餘式為0

例如 x平方減1

除以x減1

寫為 x平方減1等於括號x減1

乘以括號x加1加0

我們稱f被g整除

並稱g為f的因式

f為g的倍式

與整數的因數不同

一個多項式的因式並不是有限多個的

根據因式的定義

x加2

2x加4

3x加6

c乘以括號x加2

都是x平方減x減6因式

同理x減3

二分之一乘以括號x減3

三分之一乘以括號x減3

c分之一乘以括號x減3

也都是x平方減x減6的因式

事實上若g為f的因式

則c乘以g c不等於0

亦為f的因式

雖然如此

但是x平方減x減6的因式

依舊寫成x加2與x減3

但其意義是代表

c乘以括號x加2 c不等於0

與c乘以括號x減3 c不等於0

這兩類的因式

在多項式的除法原理與餘式定理中

我們學習到了餘式定理

給定n次多項式f以及一次多項式ax減b

則f除以ax減b的餘式為f

即多項式f除以ax減b的餘式

只需將x以除式的根a分之b代入被除式f即可

接下來結合因式的定義

討論因式與f的關係

若ax減b為多項式f的一次因式

則f除以ax減b的餘式f等於0

反之若f等於0

則ax減b為多項式f的一次因式

也因此ax減b為f的因式

上述討論的結果就稱為因式定理

在因式的定理的敘述中

ax減b為f的因式

與f等於0

這兩個條件相互推導都會成立

數學上我們將這種推導關係稱為

等價關係 equivalence relation

用符號⇔來表示

意味左敘述可以推得右敘述

而右敘述亦可推得左敘述

所以我們可以將因式定理表達為

若f為n大於等於1次多項式

則ax減b為f的因式

等價於 f等於0

藉由因式定理

若n大於等於1次多項式f滿足f等於0

則x減c為f的因式

一般來說