前面的影片已經討論過

f等於a乘以括號x減h平方加k的圖形

要如何畫出f等於ax平方加bx加c的圖形呢

只需將f等於ax平方加bx加c

配成f等於a乘以括號x減h的平方加k的形式即可

以下我們利用類似國中方程式配方法的概念來做示範

以f等於2x平方加4x加3為例

首先我們先將平方項的係數2提出來

接著一次項4x

因為剛剛外面已經先提出了2倍

所以只剩下2x

接著我們先將常數3留在外面

我們想辦法將括號的這個地方配成完全平方

所以把中間的2x拆成

2乘以x乘以1

並在後面加上1平方

而剛剛我們為了配成完全平方

所以在括號後面加1平方

但對整個個式子而言

實際上是加了2乘以1平方

所以後面再將2減回來

這樣我們就可以將f配成

2乘以括號x加1的平方加1的形式

而這個形式我們即可以畫出二次函數的圖形

仿照前面例題的作法

可以將f等於ax平方加bx加c

a不等於0

配成f等於a乘以x減h平方加k的形式

先將a提出

即f等於a乘以括號x平方加a分之bx加c

接著再將a分之bx的部分

寫成2乘以x乘以2a分之b

並且在後面加上括號2a分之b平方

最後再減回a乘以括號2a分之b的平方

即可得到

f等於a乘以括號x減h平方加k的形式

其中h等於-2a分之b

k等於4a分之4ac減b平方

透過配方我們可以得知

f等於ax平方加bx加c

的頂點座標為

對稱軸為

x等於-2a分之b

此函數圖形可由f等於ax平方的圖形

沿水平方向平移-2a分之b個單位

再沿鉛直方向平移

4a分之4ac減b平方個單位得到

此外x在沒有限制範圍的情況下

若a大於0

拋物線開口向上

此時頂點的y座標為其最小值

也就是當x等於-2a分之b

f有最小值4a分之4ac減b平方

若a小於0

拋物線開口向下

此時頂點的y座標為其最大值

也就是當x等於-2a分之b

f有最大值4a分之4ac減b平方

當x在有限制範圍的情況下

僅需要考慮在限制範圍內的圖形即可

然後找出圖形最高點的y座標即為最大值

圖形最低點的y座標即為最小值

因此會有以下的結果

二次函數f等於a乘以括號x減h的平方加k

在m小於等於x小於等於n的範圍內

f的最大值與最小值可以分成兩種狀況討論

m小於等於h小於等於n

a大於0 f為最小值

因為圖形開口向上

所以m n中離對稱軸較遠者其函數值為最大值

a小於0 f為最大值

因為圖形開口向下

所以m n中離對稱軸較遠者其函數值為最小值

h不在m n之間

a大於0

因為圖形開口向上

所以離對稱軸較遠者其函數值為最大值

離對稱軸較近者其函數值為最小值

a小於0

因為圖形開口向下

所以離對稱軸較遠者其函數值為最小值

離對稱軸較近者其函數值為最大值

在前一個測驗中我們已經將二次函數

f等於3x平方加12x加5

配成f等於3乘以括號x加2的平方減7的形式

請利用這個式子求x在下列範圍中

的最大值及最小值

最後要介紹二次函數恆正及恆負的條件

二次函數f等於ax平方加bx加c恆正

是指不管x代入任何實數

函數值f都是正的

用圖形的觀點來看

就代表f的圖形都在x軸上方

因此f等於ax平方加bx加c恆正

就代表圖形開口向上且和x軸不會有交點

所以a大於0

判別式b平方減4ac小於0

反過來說a大於0

判別式b平方減4ac小於0

那麼圖形一定會在x軸上方

即f恆正

二次函數f等於ax平方加bx加c恆負

是指不管x代入任何實數

函數值f都是負的

用圖形的觀點來看

就代表f的圖形都在x軸下方

因此f等於ax平方加bx加c恆負

就代表圖形開口向下且和x軸不會有交點

所以a小於0

判別式b平方減4ac小於0

反過來說a小於0

判別式b平方減4ac小於0

那麼圖形一定會在x軸下方

即f恆負

我們將今天所介紹的內容做個總結