各位同學還記得二次函數的圖形嗎

我們之前有介紹

y等於ax平方

及y等於a乘以x減h平方加k

a不等於0的圖形關係

舉例來說

已知y等於f等於x平方

圖形向左平移3單位

向下平移2單位

得y等於g圖形

則g等於括號x加3的平方減2

我們可以看到y等於f的頂點

也跟著平移到y等於g的頂點

所以假如y等於ax平方圖形右平移h單位

向上平移k單位

就會得到y等於a乘以括號x減h平方加k的圖形

那麼y等於ax三次方加px

與y等於a乘以x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k

a不等於0之間

是不是有類似的關係呢

我們前面有提到

y等於ax三次方

及y等於ax三次方加px

a不等於0的圖形

都是以為對稱中心的點對稱圖形

那麼其他三次函數

y等於ax三次方加bx平方加cx加d

a不等於0

是否也有對稱中心

假如有的話那它們的對稱中心在哪裡

我們先來探討三次函數

y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k

a不等於0的圖形

舉例來說

我們想繪製

y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5加4的圖形

我們可以先考慮畫

y等於x三次方減4x

此時我們可以看到

y等於x三次方減4x

對稱中心為

然後再畫y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5

並且將它與y等於x三次方減4x

畫在同一個平面上

發現y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5上的每個點

剛好是y等於x三次方減4x上的點

向右平移5單位

此時我們可以看到y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5

對稱中心為

正好是 向右平移5單位到

然後再畫y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5加4

並且將它與y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5

畫在同一個平面上

發現y等於x減5的三次方

減4乘以括號x減5加4上的每個點

剛好是y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5上的點

向上平移4單位

此時我們可以看到

y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5加4

對稱中心為

正好是 向上平移4單位到

最終我們知道

y等於x三次方減4x圖形

向右平移5單位

向上平移4單位就得到

y等於括號x減5的三次方

減4乘以括號x減5加4圖形

對稱中心也從平移到

所以我們推得

y等於ax三次方加px的圖形

向右平移h單位

向上平移k單位

得y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k

a不等於0的圖形

且新圖形以為對稱中心

前面我們有學到二次函數圖形的單元

是利用配二次方及平移的概念

就可以描繪出所有二次函數的圖形

那麼是不是有類似的方法

可以將任意三次函數

y等於ax三次方加bx平方加cx加d

表示成y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k形式

假如可以的話

再透過平移的概念

就可以描繪出所有三次函數的圖形

我們舉前面測驗中g來說

將y等於g等於x三次方減3x平方加x加4

化成y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k的形式

利用立方公式

括號a加b的三次方

等於a的三次方加3a平方b

加3ab平方加b三次方

先處理多項式中

x三次方減3x平方

對應立方公式把x視為a

把括號-1視為b

括弧裡頭多了3x減1

所以括弧外面就多了-3x加1

來平衡等式

配成三次方的形式

得到括號x減1的三次方減2x加5

最後得到

括號x減1的三次方減2乘以括號x減1加3

我們可以驗證前面測驗中

g函數圖形的對稱中心為

這個例子我們利用立方公式

將三次函數y等於ax三次方加bx平方加cx加d

表示成y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k形式

這種的方法我們稱為配三次方

一般而言

y等於ax三次方加bx平方加cx加d

a不等於0

都可以經由配三次方化成

y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k的形式

不過我們仍須一些數學論證支持

我們將y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k展開

然後再對應

y等於ax三次方加bx平方加cx加d

並比較係數

得到h p k的關係式

推論過程相當繁瑣

在此我們不多做說明

我們只須知道

每個三次函數都可以表示成

y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k形式

另外h等於-3a分之b

也是很重要的資訊

這是因為-3a分之b是

y等於f等於ax三次方加bx平方加cx加d

的對稱中心的x座標

由於對稱中心在y等於f的函數圖形上

所以對稱中心座標就是

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