合歡山位於南投縣仁愛鄉及花蓮縣的交界

海拔約3400公尺

合歡山的武嶺平常就是遊客們喜愛打卡的知名地標

從武嶺通往合歡山松雪樓的台14甲的公路上

我們利用Google地圖查詢這個路段

以一個單位100公尺的比例來看

公路沿途盡是彎彎曲曲的路段

我們選定某個路段附近

以一個單位5公尺的比例

將地圖拉近看

台14甲的公路附近已經接近一直線

我們再以一個單位2公里的比例

我們將地圖拉遠看

公路曲折不明顯了

就像是平滑的曲線

拉近拉遠看地圖上的公路會影響公路的特徵

那拉近拉遠看函數圖形的特徵

會是什麼情形呢

我們利用Google地圖查詢北橫公路

通往拉拉山遊客中心附近區域的路段

以拉遠拉近的方式得到下面三個地圖

G1 G2及G3

試由單位比例尺最小到大

拉近到拉遠的順序列出這三個地圖

正確答案為G3 G1 G2

我們先以拉遠看三次函數圖形開始

以y等於f等於x三次方減6x平方加10x減4為例

為了凸顯y等於f圖形在不同x範圍內的特徵

我們利用x軸與y軸三種不同單位長的比例

1比1 1比2及1比5拉遠來看

我們可以看到在1比1的比例中

明顯看得出來y等於f圖形

在1到4的範圍有些轉折

在1比2的比例中

我們同時拉遠看

y等於f圖形轉折較不明顯了

這是因為拉遠看時

1到4的範圍變小了

到了1比5的比例中

y等於f圖形更是看不出轉折了

我們再以1比100的比例來看

y等於f圖形

圖形看起來像y等於x三次方的圖形

向右稍微平移一些

當我們以1比500的比例來看

y等於f圖形

有點像離很遠看函數圖形

這時向右稍微平移一些也就不怎麼明顯了

看起來就像y等於x三次方的圖形

答案選

另外我們也可以從數值的方法來理解

y等於x三次方減6x平方加10x減4

函數圖形看起來就像y等於x三次的圖形

我們透過電腦軟體

求部分函數值結果

如表格所列

從表格可見當x絕對值逐漸變大時

兩函數值的比值g分之f

會愈來愈接近於1

由前面我們推知

若y等於f等於x三次方加px平方加qx加r

當我們拉遠看時

函數y等於f圖形

看起來就像y等於x三次方的圖形

另外當x絕對值值很大時

x三次方分之f約等於1

假如y等於g等於2f

等於2x三次方減12x平方加20x減8

既然我們拉遠看

y等於x三次方減6x平方加10x減4的圖形

會很接近y等於x三次方的圖形

那麼理論上

y等於2x三次方減12x平方加20x減8的圖形

也會很接近y等於2x三次方的圖形

同時由前面得知

當x絕對值值很大時

2x三次方分之g約等於1

事實上當我們拉遠看

y等於ax三次方加bx平方加cx加d的圖形

會很接近y等於ax三次方的圖形

其中a不等於0

因為一般而言

當x不等於0時我們將三次函數

y等於ax三次方加bx平方加cx加d

改寫為y等於ax三次方

乘以括號1加a分之b乘以x分之1

加a分之c乘以x平方分之1

加a分之d乘以x三次方分之1

當x絕對值很大時

括號裡的值很接近1

即 ax三次方分之ax三次方加bx平方加cx加d

約等於1

這就是拉遠看

y等於ax三次方加bx平方加cx加d的圖形

會很接近y等於ax三次方的圖形的原因

所以函數圖形的大致趨勢

可由函數的最高次項所決定

我們稱為函數圖形的廣域特徵

答案為1.5

這個單元我們是拉遠來看一個三次函數圖形的長相

也了解函數圖形的大致趨勢

可由函數的最高次項所決定

這就是函數的廣域特徵

不知道各位同學了解了嗎

下個單元我們將會拉近來看三次函數圖形

請各位同學拭目以待喔